题目

请编写一个函数（允许增加子函数），计算n x m的棋盘格子（n为横向的格子数，m为竖向的格子数）沿着各自边缘线从右下角走到左上角，总共有多少种走法，要求不能走回头路，即：只能往左和往上走，不能往右和往下走。

思路

1. 将原文题化解为子问题，若每次只能走一步，即从第(M * N)个格走一步，只有两种走法，(N – 1, M)和(N, M – 1)。由此，可将原始问题拆解成子问题。
2. 边界条件: 若要走到 (0, 0)点，此时， 棋子在棋盘的最左边或者最上边的线上，只有一种走法。
   即：

    if (N == 0 || M == 0){  //当成为一条直线
            return 1;
    }

解法

• 暴力搜索

    public static int solve(int N,int M){
        if (N == 0 || M == 0){  //当成为一条直线
            return 1;
        }
        return solve(N-1, M) + solve( N, M-1);
    }

• 自顶向下

public class Solution02 {
    //边为10*10；点为11*11
    public static int[][] result;
    public static int solve(int N, int M){
        if (result[N][M] > 0){
            return result[N][M];
        }

        result[N][M] = solve(N-1 , M) + solve(N, M-1);
        return result[N][M];
    }

    public static int getStep(int N, int M){
        if (N == 0 || M == 0){
            return 1;
        }

        result = new int[N+1][M+1];
        for (int i = 0; i <= N; i++){
            for (int j = 0; j <= M; j++){
                if (i == 0 || j == 0){
                    result[i][j] = 1;
                }else {
                    result[i][j] = -1;
                }
            }
        }

        return solve(N, M);
    }


    public static void main(String[] args){
        int N = 10;
        int M = 10;
        long start = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(getStep(N, M));
        System.out.println("Time:"+ (System.currentTimeMillis() - start) + "ms");
    }
}

• 自底向上

public class Solution03 {
    public static int getStep(int N, int M){
        if (N == 0 || M == 0){
            return 1;
        }

        int[][] result = new int[N + 1][M + 1];
        for (int i = 0; i <= N; i++){
            for (int j = 0; j <= M; j++){
                if (i == 0 || j == 0){
                    result[i][j] = 1;
                    System.out.print(result[i][j]);
                }else {
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i][j - 1];
                    System.out.print(" "+result[i][j]);
                }

            }
            System.out.print("\n");
        }

        return result[N][M];
    }

    public static void main(String[] args){
        int N = 10;
        int M = 10;
        long start = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(getStep(N , M));
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("Time:" +(end - start)+"ms");
    }
}