问题描述：

    有一个5×5的方格棋盘，棋盘上放着24颗不同的棋子，分别用英文大写字母A，B， …，X 来表示，棋盘上还有一个方格空着。游戏的每一步是将空格上、下、左、右中的一颗棋子移入空格，这四种操作分别用1、2、3、4来表示。

    如果给出棋盘的初始状态和一定顺序的有限操作序列，就可以得到唯一的目标状态。

    现已知棋盘的初态、终态和被打乱后的操作序列( 操作序列长度 L<=50 )，要求计算和输出原来正确的操作序列。若无解，则输出0。

解法讨论：

        猛一看，解这个问题似乎无从下手。但看到5×5的棋盘及所要求的操作序列，就想到这是否是一个图的问题？顺着这个思路先把棋盘抽象成一个二维的图，棋盘中的每个格子就对应着图的一个结点，每个结点必须且只能与它上、下、左、右四个相邻的结点相连（位于图四个边缘上的结点则相应地减少相连结点）。这样一来，要求的对棋盘的操作序列怎样才能得到呢？这种操作对这张图来说又意味着什么？

        重新审视题目，如果换一个角度，不是从移动的棋子而是从棋盘中空格的角度来看，又会怎么样？很明显，从这个角度看，从棋盘初态到终态实际上可以看作空格的移动的结果。呵，看来思路是对头了，移动的棋子实际上构成了棋盘上空格的移动路径。那么这个问题就变成了：已知棋盘的初态和终态，求空格所走过的路径；再进一步，这个问题可以抽象为，已知一张二维图（图中各结点的连接要求如前）中的两个结点，求连接此两结点的路径。哈哈，这不就是典型的图的搜索问题吗？然后自然想到深度优先、广度优先这类算法。

       一般的针对图的路径搜索问题，是给定两个结点要求这两个结点的一条路径，如果对路径没有其它要求，只要能连通两个结点就可，那么简单地用一个深度优先就可做到；一般再实用点或复杂点的，就要求找到一条最短路径，那么用一个广度优先也可以解决了。但这些对解决当前问题来说是不够的。

       问题中说操作序列是给定的，只不过顺序打乱了，而且这个操作序列不一定有解；也就是说如果顺序没打乱，那么按照给出的操作顺序，由棋盘的初态也不一定能得到棋盘的终态。这就很有意思了。操作序列中的一个操作实际上就表示空格的一种移动方式，而且是相对空格当前位置的一种移动。很明显一个操作序列只能有上、下、左、右四种操作，也就是说不论空格当前在什么位置，它只能做下、上、右、左四种移动。所谓给出的一个顺序打乱的操作序列，实际上就是对空格的移动方式作出了限制，一个打乱顺序的操作序列实际上就对应着这样几个已知条件：空格左移次数，右移次数，上移次数，下移次数是已知的。

       总结一下，原来的问题就变成了这样的描述：

       已知一张二维的图（图中各结点的连接要求如前）及图中两个结点A、B，求连通A、B的一条路径，而且从A出发到B的过程中，上移、下移、左移、右移的次数都已知。如果这条路径存在，请输出结果，如果此路径不存在则输出0。

       先考虑，在什么情况下这条路径不存在？很明显，如果不给出移动次数的限制的话，这张图中任意两个结点都是可以连通的，也就是路径肯定存在。假设两个结点纵向上相差h个结点，也就是说从A出发向上（或向下）最少要移动h步才能到达与B同一高度；水平方向上相差d个结点，也就是说从A出向左（或向右）最少要移动d步才能与B处于同一列上；那么可以想象，如果给出的操作序列中：上移次数+下移次数 != h 或者 左移次数+右移次数 != d 都会使从A出发的空格错过B结点的，也就是说路径不存在。

       那么当 上移次数+下移次数 == h 并且 左移次数+右移次数 == d 时，如何才能求得正确的操作序列，或者说路径呢？

       在图中求路径当然得用到深度优先算法，只是要在此基础上作一些限制。最直接的方法是设置四个计数器，将其初值设为已知的各方向的移动次数，在作深度优先的递归调用时，根据当前的探测方向，对相应的计数器作减一操作，当其中两个计数器对（上与下为一对，左与右为一对）的值都为0时，还未到达目标结点，那么这个探测方向就失败，递归函数需要返回，返回时要把相应计数器作加一操作。当任意一个计数器值为0 时，则相应方向上的探测就自动屏蔽（例如，假设上移计数器值为0，而其它计数器值都大于0，则下一步就只能向下，向左或向右进行探测了）。

       如果用广度优先的话，就需要对每一次探测时的四个方向计数器值都作记录。相比较之下，可能深度优先更简单些。

      很多问题看起来毫无头绪，但只要经过分析找到它背后隐藏的数据结构，就可以借助已掌握的知识来解决它了。尤其对于一些竞赛题或者笔试题，这种方法常常奏效。