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一. 谓词逻辑相关概念
1. 个体词
个体 简介 :
- 1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;
- 2.个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;
- 3.个体 变元 : 使用 a , b , c a,b,c a,b,c 表示个体变元 ;
- 4.个体 常元 : 使用 x , y , z x, y, z x,y,z 表示个体常元 ;
- 5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
- 6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;
- 7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;
命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;
谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;
2. 谓词
谓词 简介 :
- 1.谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
- 2.谓词表示 : 使用 F , G , H F, G, H F,G,H 表示谓词 常元 或 变元 ;
- 3.个体性质谓词表示 : F ( x ) F(x) F(x) 表示 x x x 具有 性质 F F F , 如 F ( x ) F(x) F(x) 表示 x x x 是黑的 ;
- 4.关系性质谓词表示示例 : F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 表示 x , y x, y x,y 具有 关系 F , 如 : F F F G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) 表示 x x x 大于 y y y ;
3. 量词
( 1 ) 全称量词
全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;
- 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;
- 2.表示方式 : 使用符号 ∀ \forall ∀ 表示 ;
- 3.解读1 : ∀ x \forall x ∀x 表示个体域中 所有的 x x x ;
- 4.解读2 : ∀ x ( F ( x ) ) \forall x( F(x) ) ∀x(F(x)) 表示 , 个体域中所有的 x x x 都具有性质 F F F ;
( 2 ) 存在量词
存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;
- 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;
- 2.表示方式 : 使用符号 ∃ \exist ∃ 表示 ;
- 3.解读1 : ∃ x \exist x ∃x 表示个体域中 存在着的 x x x ;
- 4.解读2 : ∃ x ( F ( x ) ) \exist x( F(x) ) ∃x(F(x)) 表示 , 个体域中 存在 x x x 具有性质 F F F ;
二. 命题符号化 技巧
1. 两个基本公式 ( 重要 )
( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G
个体域中 所有 有性质 F F F 的 个体 , 都 具有 性质 G G G ;
使用谓词逻辑如下表示 :
① F ( x ) F(x) F(x) : x x x 具有性质 F F F ;
② G ( x ) G(x) G(x) : x x x 具有性质 G G G ;
③ 命题符号化为 :
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ∀x(F(x)→G(x))
( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体
个体域 中 存在有性质 F F F 同时有性质 G G G 的个体 ;
使用谓词逻辑如下表示 :
① F ( x ) F(x) F(x) : x x x 具有性质 F F F ;
② G ( x ) G(x) G(x) : x x x 具有性质 G G G ;
③ 命题符号化为 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x) ) ∃x(F(x)∧G(x))
2. 命题符号化技巧
( 1 ) 命题符号化方法
命题符号化方法 :
- 1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 ∀ x \forall x ∀x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;
- 2.写出性质个关系 谓词 : 使用 F , G , H F , G , H F,G,H 表明 个体的 性质 或 关系 ;
- 3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;
( 2 ) 解题技巧
由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 F ( x ) F(x) F(x) 或 G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) 部件 再次进行组合 ;
如下 谓词逻辑 :
∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) ∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
其中 ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) ∀y(G(y)→H(x,y)) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 A A A , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :
∀ x ( F ( x ) → A ) \forall x (F(x) \rightarrow A) ∀x(F(x)→A)
因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的
∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) ∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法
当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的 x x x 与 存在的一个 y y y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的 x x x 和 所有的 z z z 存在某种性质或关系 ;
③ y y y 与 z z z 具有相等的属性 ;3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的 x x x 与 存在的一个 y y y 有 某种性质或关系 ,
② y y y 与 所有的 z z z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出 x x x 和 z z z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;
3. 谓词公式定义
谓词公式定义 :
- 1.原始谓词公式 : n n n 元 谓词 是一个 谓词公式 ;
- 2.否定式 : 如果 A A A 是谓词公式 , 那么 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是谓词公式 ;
- 3.两个谓词公式 组合 : 如果 A , B A, B A,B 是谓词公式 , 那么 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;
- 4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果 A A A 是谓词公式 , 且含有 个体变元 x x x , 且 x x x 没有被量词限制 , 那么 ∀ x A ( x ) \forall x A(x) ∀xA(x) , 或 ∃ x A ( x ) \exist x A(x) ∃xA(x) 也是谓词公式 ;
- 5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ;
谓词公式拼装 :
1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式 S S S ;
2> 在 原始谓词公式 S S S 前 加上 ¬ \lnot ¬ 也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 S S S 使用 )
3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式 S S S 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 S S S 使用 )
4> 在 原始谓词公式 S S S 前 加上 量词约束 ∀ x A ( x ) \forall x A(x) ∀xA(x) , 或 ∃ x A ( x ) \exist x A(x) ∃xA(x) , 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 S S S 使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )4> 步骤 的 注意点 :
① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;
三. 命题符号化 习题
1. 简单量词 示例
( 1 ) 全称量词示例
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 人都吃饭 ;
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是人 ;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 吃饭 ;
③ 命题符号化 :
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x (F(x) \rightarrow G(x)) ∀x(F(x)→G(x))
( 2 ) 全称量词 示例 2
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是某班级的学生 ;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 学过微积分 ;
③ 命题符号化 :
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x (F(x) \rightarrow G(x)) ∀x(F(x)→G(x))
( 3 ) 存在 量词 示例
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;
解答 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是人 ;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 喜欢吃糖 ;
③ 命题符号化 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x (F(x) \land G(x)) ∃x(F(x)∧G(x))
另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :
① 个体域 : 全总个体域
② 谓词 : 性质/关系 定义 :
- F ( x ) F(x) F(x) 表示 x x x 是人
- G ( y ) G(y) G(y) 表示 y y y 是糖
- H ( x , y ) H(x, y) H(x,y) 表示 x x x 喜欢吃 y y y
③ 命题符号化 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x , y ) ) \exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y)) ∃x(F(x)∧G(x)∧H(x,y))
2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;
1> 方式 一 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是男人 ;
- 2> G ( y ) G(y) G(y) : y y y 是女人 ;
- 3> H ( x , y ) H(x,y) H(x,y) : x x x 比 y y y 跑得快 ;
③ 命题符号化 : ∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) ∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
该命题符号有等价形式 :
∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) )) ∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)))
这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
① 将 ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) ∀y(G(y)→H(x,y)) 独立分析 , 首先 整个 命题都处于 ∀ x \forall x ∀x 作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题 A A A ;
② 下面分析 ∀ x ( F ( x ) → A ) ∀x(F(x)→ A) ∀x(F(x)→A) , 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题 A A A 的性质 ;
2> 方式 二 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是男人 ;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 是女人 ;
- 3> H ( x , y ) H(x,y) H(x,y) : x x x 比 y y y 跑得快 ;
③ 命题符号化 : ∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ G ( x ) → H ( x , y ) ) \forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y)) ∀x∀y(F(x)∧G(x)→H(x,y))
这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
将 F ( x ) ∧ G ( x ) F(x) \land G(x) F(x)∧G(x) 看做一个整体 A A A , 即 x x x 是男人 , y y y 是女人 , 针对所有的 x , y x, y x,y 有性质 A A A , 那么 x , y x, y x,y 同时又有性质 或 关系 H ( x , y ) H(x,y) H(x,y) ;
3. 带 或者 的 命题符号化
( 1 ) 带 或者 的 命题符号化
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;
解答 :
① 个体域 : 某班级的所有学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 有一台电脑 ;
- 2> G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) : x x x 和 y y y 是朋友 ;
③ 命题符号 :
∀ x ( F ( x ) ∨ ∃ y ( F ( y ) ∧ G ( x , y ) ) ) \forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ) ∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y)))
解析 :
1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词 ∀ x ( A ( x ) ) \forall x (A(x)) ∀x(A(x)) , 下面开始分析其中的 A ( x ) A(x) A(x) ;
3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用 ∨ \lor ∨ 进行连接 , 分别是 B ( x ) B(x) B(x) ( “有一台电脑” ) 和 C ( x ) C(x) C(x) ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 : ∀ x ( B ( x ) ∧ C ( x ) ) \forall x (B(x) \land C(x)) ∀x(B(x)∧C(x)) ;
4> “有一台电脑” : 表示成 F ( x ) F(x) F(x) ; 当前符号 : ∀ x ( F ( x ) ∧ C ( x ) ) \forall x (F(x) \land C(x)) ∀x(F(x)∧C(x)) ;
5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
① 首先 要虚构 一个 学生 y y y , 这个 y y y 代表那个有电脑的朋友 ;
② 再确定量词 : “有一个” 显然是存在量词 ∃ y \exist y ∃y ( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
③ 对这个 虚构的 y y y 的要求是 , y y y 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b. x , y x,y x,y 是朋友” , 因此使用 ∧ \land ∧ 将其连接起来 , 最终表示成 F ( y ) ∧ G ( x , y ) F(y) \land G(x , y) F(y)∧G(x,y) ;
④ 本句的符号为 : ∃ y ( F ( y ) ∧ G ( x , y ) ) \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ∃y(F(y)∧G(x,y)) ;6> 最终符号为 : ∀ x ( F ( x ) ∨ ∃ y ( F ( y ) ∧ G ( x , y ) ) ) \forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ) ∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y))) ;
( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2
命题符号化 :
某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 去过北京;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 去过上海;
③ 命题符号 :
∀ x ( F ( x ) ∨ G ( x ) ) \forall x ( F(x) \lor G(x)) ∀x(F(x)∨G(x))
解析 :
1> 个体域 量词 分析 : ∀ x \forall x ∀x 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ;
2> F ( x ) ∨ G ( x ) F(x) \lor G(x) F(x)∨G(x) 解读 : 表示 x x x 去过 北京 或者 去过 上海 ;
3> ∀ x ( F ( x ) ∨ G ( x ) ) \forall x ( F(x) \lor G(x)) ∀x(F(x)∨G(x)) 解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;
4. 复杂命题 示例
( 1 ) 复杂命题的符号化
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 存在一个学生 x x x, 对所有不同的两个学生 y y y 和 z z z 来说 , 如果 x x x 与 y y y 是好朋友 , 并且 x x x 和 z z z 也是好朋友 , 那么 y y y 和 z z z 不是好朋友;
题目分析 :
- 1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;
- 2.性质和关系分析 :
- ① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;
- ② “ x x x 与 y y y 是好朋友” : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;
- 3.主题框架分析 :
- ① 量词约束 : ” 存在一个学生 x x x, 对所有不同的两个学生 y y y 和 z z z 来说 ” 可以写出 最外围 的 量词约束 , ∃ x ∀ y ∀ z \exist x \forall y \forall z ∃x∀y∀z , 然后在对 x , y , z x, y , z x,y,z 之间的关系进行描述 ;
- ② “如果 x x x 与 y y y 是好朋友 , 并且 x x x 和 z z z 也是好朋友 , 那么 y y y 和 z z z 不是好朋友; ” : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;
- a> 命题 A A A : “如果 x x x 与 y y y 是好朋友 , 并且 x x x 和 z z z 也是好朋友” ,
- b> 命题 B B B : “那么 y y y 和 z z z 不是好朋友” ;
- c> 命题 A , B A,B A,B 的关系 : A → B A \rightarrow B A→B ;
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) : x x x 和 y y y 是好朋友;
- 2> G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) : x x x 和 y y y 是相同的 ;
③ 命题符号 :
∃ x ∀ y ∀ z ( ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → ¬ F ( y , z ) ) \exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ) ∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z))
解析 :
1> 量词分析 : ∃ x ∀ y ∀ z \exist x \forall y \forall z ∃x∀y∀z 对应了 题目中的 “存在一个学生 x x x, 对所有不同的两个学生 y y y 和 z z z 来说”
2> ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) (¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z)) 分析 : 该句对应了 “不同的两个学生 y y y 和 z z z 来说 , 如果 x x x 与 y y y 是好朋友 , 并且 x x x 和 z z z 也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ;
3> ¬ F ( y , z ) \lnot F(y, z) ¬F(y,z) 分析 : 对应了结果 “那么 y y y 和 z z z 不是好朋友” ;
4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 : ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → ¬ F ( y , z ) ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) (¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z) ;
5> 加上量词约束 得到最终结果 : ∃ x ∀ y ∀ z ( ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → ¬ F ( y , z ) ) \exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ) ∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z)) ;
( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京
解答 :
( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 去过北京;
③ 命题符号 :
∃ x ( F ( x ) ) \exist x ( F(x) ) ∃x(F(x))
解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词 ∃ x \exist x ∃x 表示 , ∃ x ( F ( x ) ) \exist x( F(x) ) ∃x(F(x)) 表示 有些学生去过 北京 ;
( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 全总个体域
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 去过北京;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 是某班级的学生;
③ 命题符号 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x)) ∃x(F(x)∧G(x))
解析 : ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x)) ∃x(F(x)∧G(x))
1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么 ∃ x \exist x ∃x 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ;
2> F ( x ) ∧ G ( x ) F(x) \land G(x) F(x)∧G(x) : 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;
3> 完整解读 : ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x)) ∃x(F(x)∧G(x)) , 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;
( 3 ) 当且仅当 转化问题
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 所有的人
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x , y ) F(x , y) F(x,y) : x , y x , y x,y 是好朋友;
- 2> G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) : x , y x , y x,y 相等;
③ 命题符号 一 :
∀ x ∃ y ∀ z ( ( F ( x , y ) ∧ ¬ G ( y , z ) ) → ¬ F ( x , z ) ) \forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) ) ∀x∃y∀z((F(x,y)∧¬G(y,z))→¬F(x,z))
解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处 x , y x ,y x,y 已经是好朋友了 , 如果出现一个 z z z 与 y y y 不相等 , 那么 x , z x,z x,z 一定不是好朋友 ;
量词分析 :
对于所有的 x x x , 存在一个 y y y 是他的朋友 , 所有的 z z z 与 x x x 是好朋友 , 那么 这个 z z z 就是 y y y ;
④ 命题符号二 :
∀ x ∃ y ∀ z ( ( F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → G ( y , z ) ) \forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) ) ∀x∃y∀z((F(x,y)∧F(x,z))→G(y,z))
解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果 x , y x,y x,y 是好朋友 , x , z x,z x,z 是好朋友 , 那么 y , z y,z y,z 肯定相等 ;
量词分析 :
对于所有的 x x x , 存在一个 y y y 是他的朋友 , 所有的 z z z 与 x x x 是好朋友 , 那么 这个 z z z 就是 y y y ;
当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的 x x x 与 存在的一个 y y y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的 x x x 和 所有的 z z z 存在某种性质或关系 ;
③ y y y 与 z z z 具有相等的属性 ;3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的 x x x 与 存在的一个 y y y 有 某种性质或关系 ,
② y y y 与 所有的 z z z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出 x x x 和 z z z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;
( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化
题目 :
- 1.要求 : 命题符号化 :
- 2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫
解答 :
命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;
① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是 动物;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 是 猫;
③ 命题符号 一 :
¬ ( ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) ) \lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ) ¬(∀x(F(x)→G(x)))
解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :
1> 提取否定 : 把并非提取出来 为 ¬ \lnot ¬ , 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ;
2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为 ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ∀x(F(x)→G(x)) ;
3> 最终结果 : ¬ ( ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) ) \lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ) ¬(∀x(F(x)→G(x))) ;
命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;
转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;
① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
- 1> F ( x ) F(x) F(x) : x x x 是 动物;
- 2> G ( x ) G(x) G(x) : x x x 是 猫;
③ 命题符号 一 :
∃ x ( F ( x ) ∧ ¬ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land \lnot G(x) ) ∃x(F(x)∧¬G(x))
∃ x ( F ( x ) ∧ ¬ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land \lnot G(x) ) ∃x(F(x)∧¬G(x)) 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;
