矩阵的秩

秩其实就是刻画了：秩就是线性无关列（行）向量的最大数目。
一个重要的结论是：行秩等于列秩。

设 A A A是一个 m × n m \times n m×n 的矩阵，其列秩为 r r r . 因此 A A A的列空间的维度是 r r r . 令 c 1 , c 2 , … , c r c_{1},c_{2}, \ldots ,c_{r} c1​,c2​,…,cr​ 是 A A A 的列空间的一组基，构成 m × r m\times r m×r 矩阵 C C C的列向量 C = [ c 1 , c 2 , … , c r ] C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}] C=[c1​,c2​,…,cr​]，并使得 A A A 的每个列向量是 C C C的 r r r 个列向量的线性组合.
那么存在一个 r × n r \times n r×n矩阵 R R R, 使得 A = C R A = CR A=CR. A A A 的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 元素是 c i c_i ci​ 与 R R R 的第 j j j 个行向量的点积.

现在，由于 A = C R A = CR A=CR, A A A 的每个行向量是 R R R 的行向量的线性组合，这意味着 A A A 的行向量空间被包含于 R R R 的行向量空间之中. 因此 A A A 的行秩 ≤ R R R的行秩. 但 R R R仅有 r r r行, 所以 R R R的行秩 ≤ \le ≤ r r r = A A A的列秩. 这就证明了 A A A的行秩 ≤ A ≤ A ≤A的列秩.

考虑 A A A的转置矩阵 A T A^\mathrm{T} AT，则A的列秩 = A T A^\mathrm{T} AT的行秩 ≤ A T ≤ A^\mathrm{T} ≤AT的列秩 = A A A的行秩.
即： A A A的列秩 ≤ A ≤ A ≤A的行秩.
综上， A A A的列秩 = A = A =A的行秩. 证毕.

Ref

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9_(%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0)