递归方程求解法

特征方程求解

特征方程法本质上是先猜后证的方法。我们猜测方程的解得形式为 x n x^n xn ，然后带入递归式，求解 x x x。

k阶齐次线性常系数

给出的条件有递归关系和初始解：
{ f ( n ) = a 1 f ( n − 1 ) + a 2 f ( n − 2 ) + ⋯ + a k f ( n − k ) f ( i ) = b i , 0 ≤ i ≤ k − 1 \begin{cases} \quad f(n) = a_1f(n-1) + a_2f(n-2) + \dots + a_kf(n-k) \\ \quad f(i) = b_i, \quad 0 \leq i \leq k-1 \end{cases} { f(n)=a1​f(n−1)+a2​f(n−2)+⋯+ak​f(n−k)f(i)=bi​,0≤i≤k−1​

猜测的解带入递归式之后，得到
x n = a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + ⋯ + a k x n − k \displaystyle x^n = a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_k x^{n-k} xn=a1​xn−1+a2​xn−2+⋯+ak​xn−k

两边同时除以 x n − k x^{n-k} xn−k 得到 x k = a 1 x k − 1 + a 2 x k − 2 + ⋯ + a k \displaystyle x^k = a_1 x^{k-1} + a_2 x^{k-2} + \dots + a_k xk=a1​xk−1+a2​xk−2+⋯+ak​

移项得到 x k − a 1 x k − 1 − a 2 x k − 2 − ⋯ − a k = 0 \displaystyle x^k – a_1 x^{k-1} – a_2 x^{k-2} – \dots – a_k = 0 xk−a1​xk−1−a2​xk−2−⋯−ak​=0

解方程可以得到 k k k 个根 x 1 , x 2 , … , x k x_1,x_2,\dots,x_k x1​,x2​,…,xk​

k个不同根

对任意解 f ( n ) = x i n f(n) = x_i^n f(n)=xin​，代入方程，得到 0 0 0

解的线性组合 f ( n ) = ∑ i = 1 k c i   x i n f(n) = \sum_{i=1}^{k} c_i\ x_i^n f(n)=∑i=1k​ci​ xin​ 也满足方程为 0 0 0。这可以作为 f ( n ) f(n) f(n) 的通解形式。

再根据初始解，得到 k k k 个线性方程，解方程组就能得到 f ( n ) f(n) f(n) 的各项系数 c i c_i ci​ 。

有重根

假设对于某个解 x i x_i xi​ 有 r r r 重根。和常微分方程类似，方程的解空间是 k k k 维的。所以关于解 x i x_i xi​ 应该有 r r r 个无关的解。

以二阶特征方程 x 2 + a x + b = 0 \displaystyle x^2 + ax + b = 0 x2+ax+b=0 为例。

假设 △ = a 2 − 4 b = 0 \triangle = a^2 – 4b = 0 △=a2−4b=0，则 x 1 = x 2 = − a 2 x_1 = x_2 = – \frac{a}{2} x1​=x2​=−2a​

为求得解的形式，设 f ( n ) = g ( n ) × x 1 n f(n) = g(n) \times x_1^n f(n)=g(n)×x1n​

代入递归方程 f ( n ) + a f ( n − 1 ) + b f ( n − 2 ) = 0 f(n) + af(n-1) + bf(n-2) = 0 f(n)+af(n−1)+bf(n−2)=0

得到 x 1 2   g ( n ) + a   x 1   g ( n − 1 ) + b   g ( n − 2 ) = 0 x_1^2\ g(n) + a\ x_1\ g(n-1) + b\ g(n-2) = 0 x12​ g(n)+a x1​ g(n−1)+b g(n−2)=0

经检验， g ( n ) = 1 , g ( n ) = n g(n)=1, g(n) = n g(n)=1,g(n)=n 都是可行的解

线性组合的形式 f ( n ) = ( c 1 + c 2   n )   x 1 n f(n) = (c_1 + c_2\ n)\ x_1^n f(n)=(c1​+c2​ n) x1n​ 就是通解的形式。

对于高阶的方程，也可以使用类似的方法。

一般来说，有 r r r 重根的解 x i x_i xi​ ，有 r r r 个线性无关的解 x i n , n × x i n , n 2 × x i n , … , n r − 1 × x i n x_i^n, n \times x_i^n, n^2 \times x_i^n, \dots, n^{r-1} \times x_i^n xin​,n×xin​,n2×xin​,…,nr−1×xin​。线性组合即可。

通解 f ( n ) = ⋯ + ( c i + c i + 1   n   + ⋯ + c i + r − 1   n r − 1   )   x i n + c i + r   x i + 1 n + … f(n) = \dots + (c_i + c_{i+1}\ n\ + \dots + c_{i+r-1}\ n^{r-1}\ )\ x_i^n + c_{i+r}\ x_{i+1}^n + \dots f(n)=⋯+(ci​+ci+1​ n +⋯+ci+r−1​ nr−1 ) xin​+ci+r​ xi+1n​+…

k阶非齐次线性常系数

解法和常微分方程类似：先求齐次通解，再求非齐次特解。

递归方程变化： f ( n ) = a 1 f ( n − 1 ) + a 2 f ( n − 2 ) + ⋯ + a k f ( n − k ) + g ( n ) f(n) = a_1f(n-1) + a_2f(n-2) + \dots + a_kf(n-k) + g(n) f(n)=a1​f(n−1)+a2​f(n−2)+⋯+ak​f(n−k)+g(n)

根据 g ( n ) g(n) g(n) 形式的不同，方程的解法也不一样(猜什么形式的解不一样)

g(n)是n的m次多项式

如果 g ( n ) = ∑ i = 0 m b i   n i g(n) = \sum_{i=0}^{m} b_i\ n^i g(n)=∑i=0m​bi​ ni，那么可以猜测 f ( n ) f(n) f(n) 的特解形式为 ∑ i = 0 m A i   n i \sum_{i=0}^{m} A_i\ n^i ∑i=0m​Ai​ ni

接下来将猜测的形式代入递归方程，对其各阶系数，可以得到 m + 1 m+1 m+1 各关于 A i A_i Ai​ 的方程。解线性方程组可以得到各阶系数 A i A_i Ai​。

g(n)是n的指数函数

具有形式 g ( n ) = ( ∑ i = 0 m A i   n i ) × λ n g(n) = \displaystyle (\sum_{i=0}^{m} A_i\ n^i)\times \lambda^n g(n)=(i=0∑m​Ai​ ni)×λn

如果 λ \lambda λ 是特征方程的 r r r 重根，特解形式设为 f ∗ ( n ) = ( ∑ i = 0 m A i   n i ) × λ n × n r f^{*}(n) = \displaystyle (\sum_{i=0}^{m} A_i\ n^i)\times \lambda^n \times n^r f∗(n)=(i=0∑m​Ai​ ni)×λn×nr 即可。（并不会证明）