数学建模算法 一 简述（1）蒙特卡洛算法

2019年11月3日 196次阅读

蒙特卡罗方法概述

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

通俗的讲：
蒙特卡罗算法：采样越多，越近似最优解

举个例子：假如筐里有100个苹果，闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。这个挑苹果的算法，就属于蒙特卡罗算法——尽量找好的，但不保证是最好的。

【例】用蒙特卡洛模拟法求圆周率pi
如图，红色线条为平面上圆心在原点的单位圆，圆的面积为pi，黑色线条构成边长为2的正方形
《数学建模算法 一 简述（1）蒙特卡洛算法》
设相互独立的随机变量X，Y均服从[-1,1]上的均匀分布，则(X,Y)服从{-1≤x≤1, -1≤y≤1}上的二元均匀分布（即图中正方形区域上的二元均匀分布），记事件A = {x^2+y^2≤1}，则A事件发生的概率等于单位圆面积除以边长为2的正方形的面积，即P(A) = pi/4。

可得圆周率pi = 4P(A). 而P(A)可以通过蒙特卡洛模拟法求得，在图1中正方形内随机投点（即横座标X和纵座标Y都是[-1,1]上均匀分布的随机数），落在单位圆内的点的个数m与点的总数n的比值m/n可以作为A事件的概率P(A)的近似，随着投点总数的增加，m/n会越来越接近于P(A)，从而可以得到逐渐接近于pi的模拟值
MATLAB代码

    %总的实验次数 
    n = input('请输入n:');  
    %落在圆中点的次数 
    m = 0;  
    %使用的圆的半径 
    a = 2;  
    %循环实验 
    for i = 1:n  
        x = rand * a / 2;  %产生随机数
        y = rand * a / 2;  
        if (x^2 + y^2 <= (a/2)^2)  
            m = m + 1;  
        end  
    end  
    %显示结果 
    fprintf('当总实验次数n = %d时计算出来的圆周率:Pi = %d\n',n, 4 * m / n);  

C

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>

int main()
{
    unsigned long i;
    unsigned long m;
    const unsigned long N=100000000;
    double x,y,pi;
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(i=0,m=0;i<N;i++)
    {
        /*x,y在区间(-1,1)*/
        x=2.0*rand()/RAND_MAX-1;、/*产生– 1到1之间的随机数*/
        y=2.0*rand()/RAND_MAX-1;
        if((x*x+y*y)<=1)
        { 
              m++;
        }
    }
    pi=4.0*m/N;
    printf("%lf\n",pi);
    return 0;
}

srand((unsigned)time(NULL))作用

1、随机数是由随机种子根据一定的计算方法计算出来的数值。所以，只要计算方法一定，随机种子一定，那么产生的随机数就不会变。
2、只要用户或第三方不设置随机种子，那么在默认情况下随机种子来自系统时钟（即定时/计数器的值）
3、建议：如果想在一个程序中生成随机数序列，需要至多在生成随机数之前设置一次随机种子。 也就是只需在主程序开始处调用srand((unsigned)time(NULL)); 后面直接用rand就可以了。不要在for等循环放置srand((unsigned)time(NULL));

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