最近上课讲了一个挺陌生的概念，叫做Skip List。搜索了一下，中文名称作“跳表”。 

写这个题目的原因： 

不过中文blog讲得都很浅： 

http://hideto.javaeye.com/blog/297625 

http://www.kernelchina.org/?q=node/239 

(刚刚baidu搜索了一下，百度文库里面有很好的介绍Skip List的文章： 

【1】http://wenku.baidu.com/view/7285945f804d2b160b4ec0a8.html —— 线段跳表 —— 跳表的一个拓展 by 石家庄二中 李骥扬  

【2】http://wenku.baidu.com/view/d1bd5a0e7cd184254b3535af.html —— 让算法的效率“跳起来”！—— by 华东师范大学第二附属中学 魏冉 

不过，都缺乏了对应的分析部分。)

英文站点还是有很多详细的解释的： 

【3】http://courses.csail.mit.edu/6.046/spring04/handouts/skiplists.pdf 

我来尝试写一下，自己对于Skip List的理解。希望能补全下不足的中文资料。 

Skip List的原理：

（如果感觉这里对于Skip List说明的不完整，请移步参考资料【1】/【2】/亲自google，本文重点在于理论分析+证明）

产生动机： 

我们知道，如果用有序数组进行二分查找（Binary Search），则用时为O（log n）。 

但有序数组的问题是：

    1. 它的容量有限，不能插入比它更多的元素；

    2. 每次增加一个元素，需要O（n）的时间，这样花费很大

所以我们会选择用链表（Linked-List）来实现数据存储。但链表的问题是，因为只能进行linear search，查找耗时O（n）。

因此，我们希望一种存储方式，能够在链表上实现O（log n）的查找时间。

一个最初的想法：

每次查找的时候，因为元素是有序排列的，所以在进行查找的时候，比如查找数字7——即使跳过数字1~6，也不妨碍对7的发现。所以，在查找元素的时候，如果能够看到几个元素之后的值，就能够决定是否要跳过这些元素。从而缩短了查找的时间。

就好像火车，有快车有慢车；快车停得站少，慢车停得多。所以，从一个地方到另一个地方，我们需要先乘坐快车，之后换乘慢车。

假设我们建立的一层快车，每两个元素直接跳过b个元素，那么每次查找的时间消耗(worst-case)：T₁ = n/b + b。

易知，当n/b = b时，T₁最小。此时b = sqrt(n)，T₁ = 2sqrt(n) = O(sqrt(n))。

假设我们建立两层快车，第二层比第一层多跳过b个元素，那么每次查找时间(worst-case)：

T₂ = n/b + n/b₂ + b；（先放在这里，之后会统一求）

现在假设我们建立了m层快车，每层的两个元素之间跳过上一层的b个元素；那么每次查找时间（worst-case）：

（在平板电脑上手写的，图片加载时间可能会比较长）

因此，合适的Skip-List情形，是每次跳过2个元素（b），一共log（n）层。

但是呢~如果依照这个想法建立SkipList，需要记录每次的高度；而且在插入新元素的时候，需要更新所有的层的所有相关节点……这样的任务量是非常大的！

怎么办呢？

神奇的地方

于是……神奇的地方出现了~我们让概率来决定——每次增加一个新的元素，我们就扔一枚硬币，看看是不是要向上增长一层~之后从概率上可以证明，这样能保持Skip List的性质~

Skip List的性质

在进行下一阶段之前，这是对于Skip List结构性质的总结（摘自【2】）：

• 跳跃表由多条链构成（S₀，S₁，S₂ ……，S_h），且满足如下三个条件：

1. 每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞
2. S₀包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
3. 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合

（图片来自【2】）

Skip List的时空效率：

（摘自【2】）

• 空间复杂度： O(n)     （期望）
• 跳跃表高度： O(log n)     （期望）

ü  相关操作的时间复杂度：

• 查找： O(log n)     （期望）
• 插入：  O(log n)     （期望）
• 删除： O(log n)     （期望）

关于时空效率的证明：

1. 空间复杂度 O(n)：

    对于每层的期待：第一层n，第二层n/2，第三层n/2²，…，直到 n/2^{log n}=1。所以，总空间需求：

    S = n + n/2 + n/2² + … + n/2^{log n} < n(1 + 1/2 + 1/2² + … + 1/2^∞) =2n

    因此他的空间复杂度为 2n = O(n)

2. Skip List高度：

    对每层来说，它会向上增长的概率为1/2，则第m层向上增长的概率为1/2^m；n个元素，则在m层元素数目的期待为E_m = n/2^m；当E_m = 1，m = log₂n即为层数的期待。故其高度期待为 E_h = O(log n)。

*关于“高概率（high probability）”的定义：

    （参考【3】【4】）

    对于事件A，如果它发生的概率至少为1-c_α/n^α，其中c_α仅取决于α，那么我们称它为高概率。

         在牺牲时间和/或空间的情况下，我们可以选择α的值。

（3~5条目证明起来很困难……先放在这里吧）

3. 查找的复杂度：

claim：在高概率的前提下，查找的时间复杂度为O(log n)

4. 插入的复杂度：

claim：在高概率的前提下，插入的时间复杂度为O(log n)

首先通过查找找到要插入的位置：O(log n)

之后进行插入，同时对每层进行对应的更新（依照概率决定是否向上增长）：o(log n)

3. 删除的复杂度：

claim：在高概率的前提下，删除的时间复杂度为O(log n)

References:

  【1】 线段跳表 —— 跳表的一个拓展 by 石家庄二中 李骥扬, taken on 2011年2月23日，from：http://wenku.baidu.com/view/7285945f804d2b160b4ec0a8.html

  【2】 让算法的效率“跳起来”！—— by 华东师范大学第二附属中学 魏冉， taken on 2011年2月23日，from：http://wenku.baidu.com/view/d1bd5a0e7cd184254b3535af.html