复杂度是衡量一个算法效率高低的一个重要的因素，一般分为时间复杂度和空间复杂度。

空间复杂度，一般在排序等 抽象数据类型的运算和物理实现 有关。本篇主要介绍时间复杂度的一些概念。

我们在 RAM模型：1)内存无限大 2)基本运算O(1) 下面考虑接下来的内容。

算法复杂性 复杂度的概念

“准确的说，算法的复杂性是运行算法所需要的计算机的资源的量。需要的时间资源的量 称为时间复杂性，需要的空间资源的量 称为空间复杂性；这个量应该集中反映算法的效率，从实际的计算机中抽象出来。”
上句源于教材，更加好理解的是，反映 需求资源的量 或者说 复杂性 的东西，就是复杂度，它应该取决于两个因素：(1)问题的规模：n (2)算法的输入：I。

• 复杂性 = 需求资源(空间，时间)的量
• 复杂度 = 反映复杂性的一个概念

复杂度能够反映 当规模n变化的时候，算法花费时间的变化，或者说，程序语句执行次数的变化。
PS：一般来说，需要估计算法的效率的时候，提到复杂性就需要考虑复杂度，两者相互关联，密不可分。

意义：当n处在一个非常大的情况下(n趋近与无穷大 或者 n>=n0)的效率问题。

一：针对每一个元计算进行估计，然后使用公式得到复杂度

如果用C表示复杂性，那么算法的复杂性应该表示为 C(n, I)。根据复杂性分为：时间复杂性和空间复杂性，这个 C(n, I) 可以分为 (1)T(n, I) (2)S(n, I)。
本文主要讨论 T(n, I)，在教材的P2： 计算机对每一个元计算 进行统计，然后根据公式来得到 T(n, I)。

缺陷：但是这个 计算机提供的元计算 是非常多的。不可能对规模为n(或者说，规模无穷大)的问题 的每一个合法的输入，都进行一个统计。

那么怎么办嘞？

三个代表来帮忙

二：针对复杂度的三种情况(最好，最坏，平均)来考量算法效率

这里影响算法复杂度的主要因素，是输入。

在上面，由于规模非常大，没有办法对 大规模的问题 的 每一个输入 进行精确的计算。
那么我们选用 三种情况下比较有代表性的复杂度 来作为我们考量算法效率的参考。

以下面的代码为例：

cin >> k; // 1 <= k <= 100

for(int i = 0; i < 10; i++)
{
    for(int j = 0; j < k; j++)
    {
        cout << "Hello" << endl;
    }
}

最好情况(也叫做 最优情况)：当输入的k为1的时候，输出Hello语句的次数也就 10*1 次，是 所有的输入k中 -> 输出Hello最少 -> 语句执行最少 -> 时间花的最少。
也就是说，由 输入的k 所主导的时间复杂度，在输入k=1的情况下，相对复杂度最低。

最坏情况：当输入的k为100的时候，输出Hello语句的次数达到了 10*100 次。语句执行次数最多，时间花的最多，相对复杂度最高。

平均情况：∑(每种k取值的概率 * 取这种k 情况下的复杂度)。这里的话，每种k取值的概率为 1/100，算出来的平均情况的复杂度为 10*50.5。

以上三种情况下的时间复杂度从不同的角度(最好最坏平均)反映算法的效率，实践证明，可操作性最好且最有价值的是 最坏情况下的时间复杂度。原因：它反映了在问题规模为n的情况下，由输入决定的 问题复杂度的上限。

详细的计算在教材的P2.
但是，还是特别麻烦怎么办？

估计算法复杂度

算法复杂性的渐近性态

定义：T(n)是前面计算算法复杂度的函数，当n趋向于无穷大的时候，T(n)一般也趋向于无穷大。那么对于T(n)来说，如果有一个t(n)，在n趋向于无穷大的时候，(T(n) - t(n))/T(n) 趋向于0，就说t(n)是T(n)的渐近性态。
这个定义又有点让人头疼的意思，大概意思就是说，在n趋向于无穷大的情况下，T(n)和t(n)非常接近，可以近似认为它们相等。
直观上，t(n)是T(n)去除低阶项所留下来的主项。举个例子：T(n) = 3*n^3 + 2*n^2 + n + 3，那么当n趋向于无穷大的时候，t(n) = 3*n^3。

因此，当n趋向于无穷大的时候，T(n)渐近于t(n)，可以用t(n)来代替T(n)，作为复杂性的度量。这种替代是对算法复杂性分析的一种简化。

复杂性的比较 目的：比较两个算法的效率，那么如果比较的两个算法 渐近复杂度的阶数不一样 的时候，只要确定出来各自的阶数，就可以判断阶数小的算法效率高。
此时不用关心包含在t(n)的常数因子，只需要关心最高阶数即可。

引入了四个估计的符号，大O，小o，0中间一横(θ，西塔)，Ω，w。
大O的意义是：O(g(n))表示所有以g(n)为上限的函数的集合；当f(n)的复杂度是O(g(n))的时候，在f(n)，g(n)不为常数的情况下，它的数学意义是 f(n)属于O(g(n))。
小o也和大O差不多，但是大O的以g(n)为上限，这个上限g(n)是可以取到的；但是小o取不到。
Ω的意义是：Ω(g(n))表示所有以g(n)为下限的函数的集合；w和它差不多，但是取不到下限。

另外一种说法：f(n)的复杂度为O(g(n)) 代表 存在一个常数c，使得当n>n0的时候，f(n) <= c*g(n)。
其它的符号可以进行类比。

(1)Θ（西塔）：紧确界。相当于"="

(2)O （大欧）：上界。相当于"<="

(3)o（小欧）：非紧的上界。相当于"<"

(4)Ω（大欧米伽）：下界。相当于">="

(5)ω（小欧米伽）：非紧的下界。 相当于">"

这五个符号的数学意义，都是集合。

常见问题

(1)类似O(2*n^3)，g(n) = 2*n^3是否正确？不正确，不应该包含常数。

(2)当评判复杂度的时候，O和Ω不经常出现，因为 f(n) ∈ O(g(n)) 的时候，无非就两种情况：1)f(n) = Θ(g(n)) 2)f(n) = o(g(n))。Ω也是一样的道理。

(3)当O评判的算法复杂度的上限g(n)的阶数越低时，评估越精确；当Ω评判的算法复杂度的下限g(n)的阶数越高时，评估越精确。

(4)O(1) 和 O(2) 的关系：等于关系。由O(1)的定义和O(2)的定义(都是集合，O(1)中的元素以1为上限，O(2)中的元素以2为上限)，我们很容易认为 O(1)从属于O(2)。但是，1和2都是常数，而O的数学定义是针对上限为g(n)的函数的。因此我们需要从第二个定义出发，O(1)代表函数f(n)存在一个常数c1，使得n>n0的时候，f(n) <= c1*1; O(2)代表函数f(n)存在一个常数c2，使得当n>n0的时候，f(n) <= c2*2。那么以上两种情况，我们只需要取 c1为2，c2为1 即可让这两个复杂度所代表的意义相同。
因此，O(1)和O(k)(其中k为常数)所代表的意义相同。

常用的复杂度

nlogn，n，n^2，n^3，logn，1·····

我们一定要选用算法复杂度最低的算法吗？

不一定，有时候算法复杂度最低，性能高，会有一些其他的额外损耗(比如空间换时间)，在实际应用中，我们常常选用一种折中的策略，来选用算法。

2016/9/9