一：图的抽象数据类型
ADT 图(Graph) Data 顶点的有穷非空集合和边的集合 Operation CreateGraph(*G,V,VR)：按照顶点集V和边弧集VR的定义构造图G DestroyGraph(*G)：图G存在则销毁 LocateVex(G,u)：若图G中存在顶点u,则返回图中位置 GetVex(G,v)：返回图中顶点v的值 PutVex(G,v,value)：将图G中顶点v赋值给value FirstAdjVex(G,*v)：返回顶点v的一个邻接顶点，若顶点在G中无邻接顶点则返回空 NextAdjVex(G,v,*w)：返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点，若w是v的最后一个邻接点则返回空 InsertVex(*G,v)：在图G中增加新顶点v DeleteVex(*G,v)：删除图G中顶点v及其相关的弧 InsertArc(*G,v,w)：在图G中添加弧<v,w>,若G是无向图，还需要添加对称弧<w,v> DeleteArc(*G,v,w)：在图G中删除弧<v,w>,若G是无向图，则需要删除对称弧<w,v> DFSTraverse(G)：对图G中进行深度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用 HFSTraverse(G)：对图G中进行广度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用 endADT
二：图的存储结构讨论
对于线性表来说，是一对一的关系，所以用数组或者链表均可以简单存放。
对于树结构是一对多的关系，所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放。
对于图来说，是多对多的情况，另外图上的任意一个顶点都可以被看做是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系如下图：实际是一个图结构，只不过顶点位置不同。
由于图的结构复杂，任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系，也就是说，图不可能用简单的顺序存储结构来表示。
内存物理位置是线性的，图的元素关系是平面的。
虽然我们可以向树结构中说到的那样使用多重链表，但是我们需要先确定最大的度，然后按照这个度最大的顶点设计结点结构，若是每个顶点的度数相差较大，就会造成大量的存储单元浪费。
三：图的存储结构（1）—邻接矩阵
考虑到图是由顶点和边（弧）两部分组成的，合在一起是比较困难的，那就很自然的考虑到分为两个结构来分别存储
顶点因为不区分大小，主次，所以用一个一维数组来存储时不错的选择。 而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，所以我们最好使用二维数组来存储图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
（一）无向图
其中1表示两个顶点之间存在关系，0表示无关，不存在顶点间的边。
对称矩阵：就是n阶矩阵满足a[i][j]=a[j][i](0<=i,j<=n）。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的源与左下角相对应的元都是相等的。根据这个矩阵，我们可以很容易的知道图中的信息。 1.我们要判定容易两顶点是否有边无边就非常容易了。 2.我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。比如上图顶点v1的度就是1+0+1+0=2 3.求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点
（二）有向图
对于上面的无向图，二维对称矩阵似乎浪费了一半的空间。若是存放有向图，会更大程度利用起来空间
其中顶点数组是一样的和无向图，弧数组也是一个矩阵，但因为是有向图，所以这个矩阵并不对称：例如v1->v0有弧，arc[1][0]=1,而v0到v1没有弧，所以arc[0][1]=0。 另外有向图，要考虑入度和出度，顶点v1的入度为1，正好是第v1列的各数之和，顶点v1的出度为2，正好是第v2行的各数之和
（三）网
每条边上带有权的图就叫做网
这里‘∞’表示一个计算机允许的，大于所有边上权值的值
（四）实现无向网图创建
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXVEX 100 //最大顶点数 #define INFINITY 65535 //用65535表示∞ typedef char VertexType; //顶点类型，字符型A,B,C,D... typedef int EdgeType; //边上权值类型10,15,... typedef struct { VertexType vers[MAXVEX]; //顶点表 EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边表 int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; void CreateMGraph(MGraph* G) { int i, j, k, w; printf("please input number of vertex and edge:\n"); scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges); //输入顶点数和边数 getchar(); //可以获取回车符 for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) //读入顶点信息，建立顶点表 scanf("%c", &G->vers[i]); getchar(); //可以获取回车符 for (i = 0; i < G->numVertexes;i++) for (j = 0; j < G->numVertexes;j++) G->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化 for (k = 0; k < G->numEdges;k++) //读入numEdges条边，建立邻接矩阵 { printf("input edge(vi,vj) row(i),col(j),weight(w):\n"); scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w); //输入边(vi,vj),以及上面的权值 getchar(); //可以获取回车符 G->arc[i][j] = w; G->arc[j][i] = G->arc[i][j]; //因为是无向图，所有是对称矩阵 } } int main() { MGraph MG; CreateMGraph(&MG); system("pause"); return 0; }
n个顶点，e条边创建无向网图，时间复杂度是O(n+n^2+e),初始化时耗费了O(n^2)
四：图的存储结构（2）—邻接表
上面的邻接矩阵是一种不错的图存储结构，便于理解，但是当我们的边数相对于顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大的浪费。
我们可以考虑使用链表来动态分配空间，避免使用数组一次分配而造成空间浪费问题。
同树中，孩子表示法，我们将结点存放入数组，对结点的孩子进行链式存储，不管有多少孩子，都不会存在空间浪费。这种思路也适用于图的存储。我们把这种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表邻接表处理办法
1.图中顶点用一个一维数组。当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易的读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息2.图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表（一）无向图
这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便。比如：
我们要获取某个顶点的度，就要去查找这个顶点的边表中结点的个数。 我们要判断vi到vj是否存在边，只需要测试vi的边表链表中是否存在结点vj的下标j即可。 我们若是要获取顶点的所有邻接点，就是对此顶点的边表进行遍历。（二）有向图
有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但是由于有时也需要确定顶点的入度或以顶点作为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点vi都建立一个链接为vi为弧头的表
（三）带权值的网图
我们可以在边表结点定义中再增加一个weight数据域，存储权值信息即可
（四）实现无向网图
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXVEX 100 //最大顶点数 typedef char VertexType; //顶点类型，字符型A,B,C,D... typedef int EdgeType; //边上权值类型10,15,... typedef struct EdgeNode //边表结点 { int adjvex; //邻接点域，存放该顶点对应的下标 int weight; //用于存放权值，对于非网图可以不需要 struct EdgeNode* next; //链域，指向下一个邻接点 }EdgeNode; typedef struct VertexNode //顶点表结点 { VertexType data; //顶点域，存储顶点信息 EdgeNode* firstedge; //边表头指针 }VertexNode,AdjList[MAXVEX]; typedef struct { AdjList adjList; //邻接表数组 int numVertexes, numEdges; //图中所存储的顶点数和边数 }GraphAdjList; void CreateALGraph(GraphAdjList* G) { int i, j ,k,w; EdgeNode *e; printf("please input number of vertex and edge:\n"); scanf("%d,%d",&G->numVertexes,&G->numEdges); //输入顶点数和边数 getchar(); //可以获取回车符 for (i = 0; i < G->numVertexes;i++) //输入顶点信息 { scanf("%c", &G->adjList[i].data); //输入顶点信息 G->adjList[i].firstedge = NULL; //将边表置为空 } getchar(); //可以获取回车符 for (k = 0; k < G->numEdges;k++) { printf("input edge(vi,vj) vertexs series and the weight:\n"); scanf("%d,%d,%d", &i, &j,&w); getchar(); //由于是无向图，对称矩阵，当我们设置边以后，需要在两个地方设置结点 e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode)); //使用头插法将数据插入（主要是头插法方便），我们插入不需要考虑顺序，因为链表结点都是与数组顶点相连接的 e->adjvex = j; e->next = G->adjList[i].firstedge; e->weight = w; G->adjList[i].firstedge = e; e = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode)); e->adjvex = i; e->next = G->adjList[j].firstedge; e->weight = w; G->adjList[j].firstedge = e; } } int main() { GraphAdjList gl; CreateALGraph(&gl); system("pause"); return 0; }
注意：上面的两种存储结构是针对顶点，下面的三种存储结构是针对边
五：图的存储结构（3）—十字链表
我们想要知道出度方向的顶点，可以使用邻接表，我们要了解入度就需要使用逆邻接表。但是我们既想要了解入度有想要了解出度，那么我们该如何处理？
这时就需要使用到有向图的一种存储方法：十字链表
顶点表结点结构
firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点。
firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中第一个结点。边表结点结构
其中tailvex是指弧起点在顶点表的下标，headvex是指弧终点在顶点表的下标。
headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。
如果是网，我们还要在其中加入权值域，来存储权值
我们可以看做横向是出度，竖向是入度顶点的出度和入度。除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度和邻接表是相同的，因此很好的应用在有向图中。
注意：整张图的出度和入度是一致的（不是某个顶点，而是这张图）
代码实现
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXVEX 100 //最大顶点数 typedef char VertexType; //顶点类型，字符型A,B,C,D... typedef int EdgeType; //边上权值类型10,15,... typedef struct OLNode //十字链表结点 { int tailvex, headvex; //表示两个顶点下标，构成了一条边。tailvex是箭头尾，弧尾，headvex是箭头头，是弧头 int weight; //用于存放权值，对于非网图可以不需要 struct OLNode* taillink; //十字链域，指向下一个邻接点，是出度方向 struct OLNode* headlink; //十字链域，指向下一个邻接点，是入度方向 }OLNode; typedef struct VertexNode //顶点表结点 { VertexType data; //顶点域，存储顶点信息 OLNode* firstin; //边表头指针,入度 OLNode* firstout; //边表头指针,出度 }VertexNode, CrossList[MAXVEX]; typedef struct { CrossList adjList; //邻接表数组 int numVertexes, numEdges; //图中所存储的顶点数和边数（出度指针和入度指针是和边数是一致的） }GraphCrossList; void CreateCrossGraph(GraphCrossList* G) { int i, j ,k,w; OLNode *e; printf("please input number of vertex and edge:\n"); scanf("%d,%d",&G->numVertexes,&G->numEdges); //输入顶点数和边数 getchar(); //可以获取回车符 for (i = 0; i < G->numVertexes;i++) //输入顶点信息 { scanf("%c", &G->adjList[i].data); //输入顶点信息 G->adjList[i].firstin = NULL; //将边表置为空 G->adjList[i].firstout = NULL; //将边表置为空 } getchar(); //可以获取回车符 //先循环获取出度结点，出度数和入度数是一致的 for (k = 0; k < G->numEdges;k++) { printf("Out-->input edge(vi,vj) vertexs series and the weight:\n"); scanf("%d,%d,%d", &i, &j,&w); getchar(); //创建十字链表结点 e = (OLNode *)malloc(sizeof(OLNode)); //使用头插法将数据插入（主要是头插法方便），我们插入不需要考虑顺序，因为链表结点都是与数组顶点相连接的 e->tailvex = i; e->headvex = j; e->weight = w; e->taillink = G->adjList[i].firstout; G->adjList[i].firstout = e; } //再循环获取入度结点，在上面的出度结点建立了所有结点的基础上，我们再建立入度指针指向 //例如我们要获取v0的入度v1，我们先输入入度点0，再输入出度点1,不需要权值，权值在上面对有向图都赋值了 //我们进行第二个指针v0的入度v2,我们使用相同输入，但是开始使用头插法修改链表firstin指向 for (k = 0; k < G->numEdges; k++) { printf("In-->input edge(vi,vj) vertexs series:\n"); scanf("%d,%d", &i, &j); getchar(); //根据上面的输入，我们将当前的顶点域firstin指向我们获取的新的入度域 //先找入度域 e = G->adjList[j].firstout; while (e->headvex!=i) e = e->taillink; //循环十字链表结点，获取我们要的入度结点 //使用头插法插入入度指针域 e->headlink = G->adjList[i].firstin; G->adjList[i].firstin = e; } } int main() { GraphCrossList gl; CreateCrossGraph(&gl); gl; system("pause"); return 0; }
六：图的存储结构（4）—邻接多重表
邻接多重表是对无向图的存储结构的优化问题：
对于无向图的邻接表，我们更加关注的重点是顶点，那么是不错的选择，但是我们要是关注的是边的操作。
比如：删除一条边，那么我们的操作将变得复杂，我们需要找到这条边的两个顶点，方便去其链表中删除所表示的边。稍微有点麻烦。
改进：
我们只出现无向图中对应条数的边表结点，其他的结构，我们全部由指针来联系，所以当我们想要删除一条边时，就只需要删除对应的边表结点。指向她的指针会置为空，他自己产生的指针会消失。就完成了对边的操作。
例如上图，我们若是使用邻接表：是要10个顶点结点去表示5条边，而我们若是使用邻接多重表，只需要5个边结点即可。删除一条边就不存在重复操作
定义
邻接多重表结构
其中ivex和jvex是指某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。ilink指向依附顶点ivex的下一条边，jlink指向依附顶点jvex的下一条边。
如上图有4个顶点和5条边，先将边表结点画出来。由于是无向图，所以ivex，jvex正反过来都可以，为了绘图方便，都将ivex值设置的与一旁的顶点下标相同1.将边表结点画出来
2.开始连线
首先连线的（1）（2）（3）（4）是将顶点的firstedge指向一条边，顶点下标要与ivex的值相同。
接着，由于顶点v0的(v0,v1)边的邻边有(v0,v3)和(v0,v2)。因此（5）（6）的连线就是满足指向下一条依附于顶点v0的边的目标，注意ilink指向的结点的jvex（ivex）一定要与它本身的ivex的值相同。
注意ilink指向的结点的jvex（ivex）一定要与它本身的ivex的值相同。而且为了方便，我们和jvex相同，那么全部指向都要与之一样
同理，连线（7）就是指（v1,v0）这条边，它是相当于顶点v1指向（v1,v2）边后的下一条。
v2有三条边依附，所以（3）之后就有了（8）（9）。
连线（10）就是顶点v3在连线（4）之后的下一条边
左图一共有5条边，所以右图有10条连线，完全符合预期。
总结
邻接多重表与邻接表的差别，仅仅是在于同一条边在邻接表中用两个边表结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点。这样对边的操作就方便多了，
若要删除左图的(v0,v2)这条边，只需要将右图的（6）（9）的链接指向改为^即可。
代码实现前的思考：
MMP,怎么就想不出来用什么方法去存储这些边呢？顶点和边不对应呀....吐血....，去网上找找其他关于邻接多重表的信息吧
数据结构之图(2-2)【邻接多重表】适用于无向图
无向图的邻接多重表存储结构
这两篇文章来了思路，将表的结构修改一下，我们只需要保证邻接多重表的根本，就是创建边表，而不是创建顶点表，因为顶点表是边表的两倍，在删除时会导致重复操作，而我们的边表只需要创建对应边数的结点，删除某条边，就删除对应结点即可。不需要重复操作。
上面这种表示方法，但是好像没说清楚为啥这么排列。
于是决定测试将对应顶点的邻接边全部放入顶点后面步骤一：先排序第一个顶点的所有邻接边
步骤二：我们再排序第二个顶点的所有邻接边
步骤三：我们接着排序第三个顶点的所有邻接边
步骤四：开始排序最后一个顶点所有邻接边
通过上面排序，我们可以获取所有邻接点和邻接边
按照上面来实现代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXVEX 100 //最大顶点数 typedef char VertexType; //顶点类型，字符型A,B,C,D... typedef int EdgeType; //边上权值类型10,15,... typedef struct ENode //十字链表结点 { int ivex, jvex; //表示两个顶点下标，构成了一条边。 int weight; //用于存放权值，对于非网图可以不需要 struct ENode* ilink; //邻接多重表，指向下一个邻接点， struct ENode* jlink; //邻接多重表，指向下一个邻接点， }ENode; typedef struct VertexNode //顶点表结点 { VertexType data; //顶点域，存储顶点信息 ENode* firstedge; //边表头指针 }VertexNode, AMLList[MAXVEX]; typedef struct { AMLList adjList; //邻接多重表数组 int numVertexes, numEdges; //图中所存储的顶点数和边数 }AMLGraphList; //根据ivex找到第几行，我们去前面几行查找,jvex获取下标 ENode* GetNode(AMLGraphList* G,int ivex,int jvex) { int i; ENode *e; for (i = ivex-1; i >=0;i--) { e = G->adjList[i].firstedge; while (e) { if (e->jvex==jvex) { return e; } e = e->ilink; } } return NULL; } void CreateAMLGraph(AMLGraphList* G) { int i, j, k, w,flag; ENode *e; ENode *tempNode; printf("please input number of vertex and edge:\n"); scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges); //输入顶点数和边数 getchar(); //可以获取回车符 for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) //输入顶点信息 { scanf("%c", &G->adjList[i].data); //输入顶点信息 G->adjList[i].firstedge = NULL; //将边表置为空 } getchar(); //可以获取回车符 //先循环获取边信息。创建所有边信息,放在对应的顶点后面， for (k = 0; k < G->numEdges; k++) { printf("Out-->input edge(vi,vj) vertexs series and the weight:\n"); scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w); getchar(); //创建邻接多重表结点 e = (ENode *)malloc(sizeof(ENode)); //使用头插法将数据插入（主要是头插法方便），我们插入不需要考虑顺序，因为链表结点都是与数组顶点相连接的 e->ivex = i; e->jvex = j; e->weight = w; e->ilink = G->adjList[i].firstedge; e->jlink = NULL; G->adjList[i].firstedge = e; } //开始连接多张表之间的关系，并且判断ilink和jlink，从第二个顶点开始 for (i = 1; i < G->numVertexes;i++) { e = G->adjList[i].firstedge; if (e) { flag = 0; //用来标识是不是最后一个结点 while (e&&!flag) //需要将最后一个单独处理 { if (e->ilink == NULL) { tempNode = GetNode(G, i, e->ivex); e->ilink = tempNode; flag = 1; } tempNode = GetNode(G, i, e->jvex); e->jlink = tempNode; e = e->ilink; } //e = GetNode(G, i, e->jvex); //处理最后一个 } else G->adjList[i].firstedge = GetNode(G, i, i); } } int main() { AMLGraphList gl; CreateAMLGraph(&gl); gl; system("pause"); return 0; }
七：图的存储结构（5）—边集数组
边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息。
这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成。结构
表现
如上图所示，边集数组关注的是边的集合，在边集数组中要查找一个顶点的度需要扫描整个边数组，效率并不高。
因此它更适合对边依次进行处理的操作，而不适合对顶点相关的操作。
代码实现
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXVEX 100 //最大顶点数 typedef char VertexType; //顶点类型，字符型A,B,C,D... typedef int EdgeType; //边上权值类型10,15,... typedef struct VertexNode //顶点表结点 { VertexType data; //顶点域，存储顶点信息 }VertexNode, VertexList[MAXVEX]; typedef struct EdgeNode //边集表结点 { int begin, end, weight; }EdgeNode, EdgeList[MAXVEX]; typedef struct { VertexList vexList; //顶点表 EdgeList edgeList; //边集表 int numVertexes, numEdges; //图中所存储的顶点数和边数 }EdgeGraphList; void CreateEdgeGraph(EdgeGraphList* G) { int i, j ,k,w; printf("please input number of vertex and edge:\n"); scanf("%d,%d",&G->numVertexes,&G->numEdges); //输入顶点数和边数 getchar(); //可以获取回车符 //获取顶点数组信息 for (i = 0; i < G->numVertexes;i++) //输入顶点信息 { scanf("%c", &G->vexList[i].data); //输入顶点信息 } //获取边数组 for (k = 0; k < G->numEdges;k++) { printf("input edge(vi,vj) vertexs series and the weight:\n"); scanf("%d,%d,%d", &i, &j,&w); getchar(); //由于是无向图，对称矩阵，当我们设置边以后，需要在两个地方设置结点 G->edgeList[k].begin = i; G->edgeList[k].end = j; G->edgeList[k].weight = w; } } int main() { EdgeGraphList gl; CreateEdgeGraph(&gl); gl; system("pause"); return 0; }
