问题规约表示

问题规约（Problem reduction）是另一种基于状态空间的问题描述与求解方法。已知问题的描述，通过一系列变换把此问题最终变成另一个本原问题（事实，定理）集合；这些本原问题的解可以直接得到，从而解决了初始问题。

问题规约表示可以由下列三部分组成： 
（1）一个初始问题描述； 
（2）一套把问题变换为子问题的操作符； 
（3）一套本原问题描述。

先把问题分解为子问题和子-子问题，然后解决较小的问题。对该问题的某个具体子集的解答就意味着对原始问题的一个解答。问题归约表示的组成部分：一个初始问题描述；一套把问题变换为子问题的操作符；一套本原问题描述。问题归约的实质：从目标(要解决的问题)出发逆向推理，建立子问题以及子问题的子问题，直至最后把初始问题归约为一个平凡的本原问题集合。

本原问题的描述

1.梵塔难题（hanoi）

有3个柱子(1，2和3)和3个不同尺寸的圆盘（A，B和C）。在每个圆盘的中心有一个孔，所以圆盘可以堆叠在柱子上。最初，3个圆盘都堆在柱子1上：最大的圆盘C在底部，最小的圆盘A在顶部。要求把所有圆盘都移到柱子3上，每次只许移动一个，而且只能先搬动柱子顶部的圆盘，还不许把尺寸较大的圆盘堆放在尺寸较小的圆盘上。这个问题的初始配置和目标配置如图2.6所示。

如图所示：

图 2.6 梵塔问题

解题过程：

将原始问题归约为一个较简单问题集合，要把所有圆盘都移至柱子3，我们必须首先把圆盘C移至柱子3；而且在移动圆盘C至柱子3之前，要求柱子3必须是空的。只有在移开圆盘A和B之后，才能移动圆盘C；而且圆盘A和B最好不要移至柱子3就不能把圆盘C移至柱子3。因此，首先应该把圆盘A和B移到柱子2上。然后才能够进行关键的一步，把圆盘C从柱子1移至柱子3，并继续解决难题的其余部分。 
　　将原始难题归约（简化）为下列子难题：移动圆盘A和B至柱子2的双圆盘难题，如图(a)所示。

 

图 2.7 梵塔问题解答(a)

图 2.8 梵塔问题解答(b) 

 

图 2.9 梵塔问题解答(c)

梵塔问题归约图：子问题2可作为本原问题考虑，因为它的解只包含一步移动。应用一系列相似的推理，子问题1和子问题3也可被归约为本原问题，如图2.10所示。这种图式结构，叫做与或图(AND/OR graph)。 
它能有效地说明如何由问题归约法求得问题的解答。

图 2.10 梵塔问题归约图

 （参考文献：《人工智能及其应用》-第五版-清华大学出版社-蔡自兴）