矿工挖矿问题

• 简述
  • 为了解决在给定金矿和矿工数量的前提下，能够获得最多黄金的挖矿策略。
  • 很多算法题其实就是这个问题换了一个情境。
• 问题描述
  • 有5个金矿，每个金矿黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数目也不同，假定有10个工人，每个金矿要么全挖，要么不挖，不可以拆分，试问，想得到最多的黄金，应该选择挖取哪几个金矿。
  • 金矿信息如下表。
    

    金矿编号	黄金储量	所需工人数目
    1	400	5
    2	500	5
    3	200	3
    4	300	4
    5	350	3

• 问题分析
  • 如果要使用动态规划解题，就要确定动态规划的三要素：最优子结构、边界和状态转移函数。
  • 最优子结构
    • 解题目标是确定10个工人挖5个金矿能够获得最多的黄金量，该问题可以从10个工人挖4个金矿的子问题中递归求解。
    • 在解决10个工人挖4个金矿时，存在两种选择，一种是放弃第5个矿，将10个工人投入到挖四个矿中；另一种选择是决定对第5个矿进行挖掘，因此需要从这10个人中抽取3个人（第5个矿需要人数）加入第5个矿开采，剩余的人处理前4个矿。
    • 因此，最优解应该是这两种选择中获得黄金数量较多的那一种。
    • 为了描述方便，设金矿数量为n，工人个数为w，第n个矿的黄金数量为G(n),第n个矿所需工人为P(n)，要想获得10个矿工挖掘5个金矿的最优解为max(F(4,10),F(4,10-P[4])+G[4])。
    • 这就是最优子结构。
  • 边界
    • 对于一个金矿而言，若当前的矿工数量不能达到金矿的挖掘需要，则获得的黄金数量为0，若能满足矿工数量要求，获得的黄金数量为G[0]。
    • 因此，边界可以描述为
      • n=1,w>=P[0]时，F(n,w)=G[0]
      • n=1,w<P[0]时，F(n,w)=0
  • 状态转移函数
    • F(n,w) = 0 (n<=1,w<p[0])
    • F(n,w) = G[0](n==1, w>=P[0])
    • F(n,w) = F(n-1,w)(n>1,w<P[n-1])
    • F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1, w-P[n-1])+G[n-1])(n>1,w>=P[n-1])
  • 到这里，三要素找到了，经过这个过程也明白了求解过程，由底向上计算，一步步推导可以得到结果，换句话说，n步的解其实就是第一步的结果推来的，这就是递归过程。
• 代码

  •   def gold_mining(n ,w, G, P):
          """ 利用递归实现动态规划算法过程 :param n: :param w: :param G: :param P: :return: """
          if n <= 1 and w < P[0]:
              return 0
          if n == 1 and w >= P[0]:
              return G[0]
          if n > 1 and w < P[n-1]:
              return gold_mining(n-1, w, G, P)
          if n > 1 and w >= P[n-1]:
              return max(gold_mining(n-1, w, G, P), gold_mining(n-1, w-P[n-1], G, P) + G[n-1])
      
      
      if __name__ == '__main__':
          G = [400, 500, 200, 300, 350]
          P = [5, 5, 3, 4, 3]
          n = 5
          w = 10
          print(gold_mining(n, w, G, P))
    

• 补充说明
  • 具体代码可以查看我的Github，欢迎Star或者Fork
  • 参考书《你也能看得懂的Python算法书》，书中略微有一点不合理之处，做了修改
  • 到这里，其实你已经体会到了动态规划的简约之美，当然，要注意Python是有递归深度限制的，如不是必要，建议使用循环控制