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发信人: YourMajesty (花痴~~~~小魔男), 信区: AI
标 题: 关于八码数问题有解与无解的证明(zz)
发信站: BBS 水木清华站 (Fri Nov 23 22:26:49 2001)

8数码难题搜索时，有时候是无解的，8数码问题总共有9!种状态，如果用计算机一个一个去搜索去判断哪些有解哪些误解，无疑要花费很长的时间，也没必要。作为一种智力游戏，玩之余，我在想，能否通过事先的分析来判断哪些问题有解，哪些问题无解呢？对于有解的问题，是否能通过一种固定的步骤来得到解？经过昨天晚上和今天的仔细分析，我觉得我已经得到了这个问题的初步解答，下面我公布一下我得到的结果和证明，抛砖引玉，如果大家发现其中有什么问题，欢迎来我宿舍一起讨论或者给我发Email。

我的证明分好几个步骤，恳请大家能够耐心的看下去，我会尽量说得简洁一点。

一、我的结论
我们将九宫格按行排成一行共九个数(空格也占一个位置，在本文种，我用@表示空格)。比如：

1 2 3         1 2 3
4 @ 5 ＝> 4 @ 5
6 7 8         6 7 8      

这样，九宫格的每一种状态和上图的行之间是一一对应的。

所有的奇九宫图之间是可达的，所有的偶九宫图之间也是可达的，但奇九宫图和偶九宫图之间互不可达。

二、问题的转化
为了证明上述定理，我想先对问题进行一下转化。我定义两种行序列的变换：一种是空格@和相邻的数对换，一种是空格@和前后隔两个数的数之间的对换，前者对应着空格在九宫图中的左右移动，后者对应着空格在九宫图中的上下移动。

   引理一：在上述的两种对换下，序列的奇偶性不改变.

这个引理很容易证明。首先，相邻的对换肯定不改变奇偶性；其次，隔两格的对换也不改变奇偶性，它相当于三个数的轮换，我们可以自己列举一下几种情况验证一下。这就说明了奇九宫图和偶九宫图之间是互不可达的.

引理二：转化后行序列在上面定义的两种对换下的任意操作，可以转换成九宫图中空格的合法变化.

这个引理也是比较容易证明的。我们只要证明如下的几种状态之间是互达的:

     a b c        a b @        a b c        a b c
     @ d e  <=>   c d e        d e f  <=>   d e @
     f g h        f g h        @ g h        f g h

通过计算机搜索，可以发现上面两对状态之间的确是互达的。从而，我们可以假定上面两种状态之间的转换可以用行序列中的两种邻对换来代替。想提一点的是，九宫图之间的变换是可逆的。下面，到了问题的核心部分了.

引理三：所有的奇状态可以转换为 @ 1 2 3 4 5 6 7 8, 所有的偶状态可以转换为 @ 2 1 3 4 5 6 7 8.

要证明这个引理，得分几个步骤。我的想法是先设法把8移到最后一个，然后8保持不动(注意，我们这里的不动只是形式上不动，但不管怎样，我们的每一个变换后，8还是保持在最后一个，余类似)，再将7移到8之前，然后，保持7和8不动，依次移动6，5，4，3，得到 * * * 3 4 5 6 7 8这里 * * *是 @ 1 2 的一个排列。到这里，我想要得到前面的两种状态之一是显然的了。下面，我说明，上面的想法是可以实现的。如下:

1. 对于 a b c @ ，我们可以将其中的任意一个移到最后，并且对变换仅限于这四个位置上。显然，对于a，c是一步就可以做到的。对于b，步骤如下： a b c @ -> @ b c a -> b @ c a -> b c @ a -> b c a @ -> @ c a b
2. 先把要移到最后位置的那个数移到最后四个位置之一，然后再将空格移到最后一个位置，用1的方法将待移动的数变换到最后一个位置。循环这样做即可.

引理三证毕。

证完了这三个引理，定理的成立就是显然的了。首先，将奇偶性相同的两种状态都变换到上述两种标准状态之一，然后对其一去逆变换即可。以上是我的所有证明，有些地方在计算机上写起来不是太清楚。