约瑟夫环：
约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后[1] 结果+1即为原问题的解。
这里可以实际为从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。 稍微简化一下。
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
下面利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：
（1）第一个被删除的数为 (m – 1) % n。
（2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n – 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, …..,k – 3, k – 2。做一个简单的映射。
k —–> 0
k+1 ——> 1
k+2 ——> 2
…
…
k-2 ——> n-2
这是一个n -1个人的问题，如果能从n – 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
（3）第二个被删除的数为(m – 1) % (n – 1)。
（4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n – 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,……o – 3, o – 2.。继续做映射。
o —–> 0
o+1 ——> 1
o+2 ——> 2
…
…
o-2 ——> n-3
这是一个n – 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n – 1个人问题的解，只需得到n – 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：
f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)
<span style="font-size:14px;">f(i)表示i个人玩游戏最后胜利者的编号，这里人员编号从0到i-1,报数从是从0到m-1</span>有了递推公式，实现就非常简单了，具体可以看历年的一些真题
1，[编程题] 删数
有一个数组a[N]顺序存放0-N，要求没隔两个数删掉一个数，到末尾时循环至开头继续进行，求最后一个被删掉的数的原始下标位置。以8个数(N=7)为例:｛0，1，2，3，4，5，6，7｝，0->1->2(删除)->3->4->5(删除)->6->7->0(删除),如此循环直到最后一个数被删除。
输入描述:
每组数据为一行一个整数n(小于等于1000)，为数组成员数,如100，则对a[999]进行计算。
输出描述:
一行输出最后一个被删掉的数的原始下标位置。
输入例子:
8
输出例子:
6
分析：这题和约瑟夫环问题一致
代码：
<span style="font-size:14px;">import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
//约瑟夫环问题
/**
* 约瑟夫环的问题；
* f(1)=0;
* f(i)=(f(i-1)+m)%i
* f(i)表示i个人玩游戏最后胜利者的编号，这里人员编号从0到i-1,报数从是从0到m-1
*/
Scanner sc=new Scanner(System.in);
while(sc.hasNextInt()){
int n=sc.nextInt();
if(n<=0)
System.out.println(-1);
int a[]=new int[n+1];
a[1]=0;
for (int i = 2; i < a.length; i++) {
a[i]=(a[i-1]+3)%i;
}
System.out.println(a[n]);
}
}
}
</span>
还有个题目，剑指offer上面的
2，孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)
题目描述
每年六一儿童节,NowCoder都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为NowCoder的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数….这样下去….直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到NowCoder名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？
<span style="font-size:14px;">public class Solution {
public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
/**
* 约瑟夫环的问题；
* f(1)=0;
* f(i)=(f(i-1)+m)%i
* f(i)表示i个人玩游戏最后胜利者的编号，这里人员编号从0到i-1,报数从是从0到m-1
*/
/*法一：
if(n==0||m==0) return -1;
int a[]=new int[n+1];
a[1]=0;
for (int i = 2; i < a.length; i++) {
a[i]=(a[i-1]+m)%i;
}
return a[n];
*/
if(n==0||m==0) return -1;
int result=0,count=1;
while((++count)<=n){
result=(result+m)%count;
}
return result;
}
}</span>