约瑟夫环——公式法（递推公式）

2019年3月24日 235次阅读 来源: 约瑟夫环问题

约瑟夫问题

约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

  • 首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
  • 然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
  • C接着从1开始报数
  • 接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
  • 最终胜利者是C

解决方案

普通解法

刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。
《约瑟夫环——公式法（递推公式）》

缺点：

要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

公式法

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式：

f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

  • f(N,M) 表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
  • f(N−1,M) 表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号

下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

  • 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
  • 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
  • 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
  • ……
  • 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
  • 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
  • 最后的胜利者是编号为7的人。

下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）
《约瑟夫环——公式法（递推公式）》

现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

  • f(1,3) ：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
  • f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1 ：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
  • f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1 ：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
  • f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0 ：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
  • ……
  • f(11,3)=6

很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。
问题1：假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2：假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以 f(11,3)=f(10,3)+3 。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数， f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

问题3：现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答：每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位 f(N−1,M) ，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既 f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n

注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1

下面给出代码实现：

int cir(int n,int m)
{
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        p=(p+m)%i;
    }
    return p+1;
}
    原文作者：约瑟夫环问题
    原文地址: https://blog.csdn.net/u011500062/article/details/72855826
    本文转自网络文章，转载此文章仅为分享知识，如有侵权，请联系博主进行删除。
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