我们都知道，对常微分方程 最简单也是最本质的处理方法就是分离变量，使得方程可以变成的形式，两边再进行积分便可以得到方程的解.在常微分方程（以下简称为方程）中，有两类比较特殊的方程，分别是一阶线性齐次微分方程以及一阶线性非齐次微分方程.这一类线性方程可以统一表示为.

        这里有个小问题，为什么说是线性方程？我个人是这么理解的把写成,在整理完系数之后，方程可以表示为,很明显，从代数学的角度，这就是关于的方程，且两者是线性的，易证：

因此这类方程是线性方程.

      此外，为什么说这类方程有齐次与非齐次之分呢？很简单，当q=0时，即是,在代数学中，这类方程就是齐次方程。而当q不为0时，q视为一个非零常数k，则明显的，是一个非齐次方程。本人在两天前请教了一位师兄，他对于齐次和非齐次的判断方法“简单粗暴”但十分有效——关键在于方程能否进行变量分离！

     在解方程的时候，我们应该分情况——q是否为零。

     Case 1：当q为0时，该方程是一个齐次方程，，即有,对这个式子进行变量分离，可以得到,两边同时进行积分可以得到,即可以得到方程的一个解为.

     Case 2：当q不为0时，方程的形式为

     对于常微分方程，我们采用的最常规，最原始，最简单的方法，就是进行变量分离，所以可以试着用分离变量对这个方程进行处理：,但这样子，还是没能将x和y完全分离，因此没能够达到分离变量的目的，所以直接分离变量这种思路暂时枪毙掉。

不妨换一种方法：能否构造出一个恰当方程,其中.为了构造出这样一个恰当方程，我们需要利用一个积分因子,使得是一个恰当方程。假设方程左边的恰好是某个二元函数的全微分，由数学分析的相关知识可以很快得到，这个所谓的原函数的唯一存在的且为。因此，对uy求全微分可以得到,所以.

根据以上分析得到的，则,而这个就是我们熟悉的齐次方程，进行简单的变量分离即可：

所以这个方程的一个积分因子是，而这个就是这个非齐次方程的”导出”齐次方程的解。

在得到这个积分因子之后，我们就可以很快对这个方程进行求解：

这种方式是MIT教授的方法，是本人认为最好理解的推导方法。如果有更好更简便的推导方式，欢迎探讨！

P.S. 在华南师大版本的《应用常微分方程》中，对这种方程的表述是,那么用上述的思路进行推导，得到的结果大同小异，只不过是，

原因在于p的符号发生改变，但方程的本质并没有改变。