更新 ¹ [用抽象代数讨论仿射变换和仿射空间中的坐标变换] ，以下是之前的内容。

下面使用行向量：

e1=(1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)
i, j, k是三个线性无关的向量²，它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i,j,k
i’, j’, k’是三个线性无关的向量，它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i’, j’, k’

d e n o t e [ i j k ] = A , [ i ′ j ′ k ′ ] = B denote \quad \begin{bmatrix}i\\j\\k\end{bmatrix}=A,\begin{bmatrix}i'\\j'\\k'\end{bmatrix}=B denote⎣⎡​ijk​⎦⎤​=A,⎣⎡​i′j′k′​⎦⎤​=B


已知点P相对于Oijk的坐标是(x,y,z)
则点P相对于O’i’j’k’的坐标：

( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( ( x , y , z ) A + ( O − O ′ ) ) B − 1 (x',y',z')=((x,y,z)A+(O-O'))B^{-1} (x′,y′,z′)=((x,y,z)A+(O−O′))B−1

若B是正交矩阵，就不用求逆了，求转置就是。
特别地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则
( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( ( x , y , z ) − O ′ ) ) B − 1 (x',y',z')=((x,y,z)-O'))B^{-1} (x′,y′,z′)=((x,y,z)−O′))B−1

##推导

设点P相对于O’i’j’k’的坐标是(x’,y’,z’)

∵ P = O + ( x , y , z ) A = O ′ + ( x ′ , y ′ , z ′ ) B \because P =O+(x,y,z)A=O'+(x',y',z')B ∵P=O+(x,y,z)A=O′+(x′,y′,z′)B
∴ ( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( ( x , y , z ) A + ( O − O ′ ) ) B − 1 \therefore(x',y',z')=((x,y,z)A+(O-O'))B^{-1} ∴(x′,y′,z′)=((x,y,z)A+(O−O′))B−1

##补充
记 B = A M ( M = A − 1 B ) B=AM\quad (M=A^{-1}B) B=AM(M=A−1B)，即M是把i,j,k变换到i’,j’,k’的变换矩阵，
∴ ( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( ( x , y , z ) A + ( O − O ′ ) ) M − 1 A − 1 \therefore(x',y',z')=((x,y,z)A+(O-O'))M^{-1}A^{-1} ∴(x′,y′,z′)=((x,y,z)A+(O−O′))M−1A−1
特别地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则
( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( ( x , y , z ) − O ′ ) ) M − 1 a n d M = B (x',y',z')=((x,y,z)-O'))M^{-1}\quad and \quad M=B (x′,y′,z′)=((x,y,z)−O′))M−1andM=B

应用

实际应用中，用到的一般都是O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3的特殊情况，
这是因为：问题在描述O’i’j’k’坐标的时候一般都是相对于Oikj而言的；
这里没有绝对的坐标系，仿射空间中任何一个点都看以看成(0,0,…0)，任意一组基都可以看成{(1,0,…0), (0,1,…0), (0,0,…1)}。
( x , y , z , 1 ) [ M − 1 0 − O ′ M − 1 1 ] = ( x ′ , y ′ , z ′ , 1 ) (x,y,z,1)\begin{bmatrix} M^{-1}& 0\\ -O'M^{-1}& 1 \\ \end{bmatrix}=(x',y',z',1) (x,y,z,1)[M−1−O′M−1​01​]=(x′,y′,z′,1)
[ M − 1 0 − O ′ M − 1 1 ] = [ M 0 O ′ 1 ] − 1 \begin{bmatrix} M^{-1}& 0\\ -O'M^{-1}& 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} M& 0\\ O'& 1 \\ \end{bmatrix}^{-1} [M−1−O′M−1​01​]=[MO′​01​]−1

换个角度理解

点P不动，把坐标架O,i,j,k变换到O’,i’,j’,k’，则变换矩阵是 ( M 0 O ′ 1 ) \begin{pmatrix} M & 0 \\ O' & 1 \end{pmatrix} (MO′​01​), M=B,
就相当于 坐标架不动，点P逆着上述变换，变换到新坐标。

变换的两种方式

①先原地变换坐标架，再平移坐标架
[ B 0 0 1 ] [ I 0 O ′ 1 ] = [ B 0 O ′ 1 ] \begin{bmatrix} B &0 \\ 0&1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I &0 \\ O' & 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} B &0 \\ O' &1 \\ \end{bmatrix} [B0​01​][IO′​01​]=[BO′​01​]
②先平移坐标架，再相对平移之后的原点变换坐标架
[ I 0 O ′ 1 ] X = [ B 0 O ′ 1 ] X = [ B 0 O ′ − O ′ B 1 ] \begin{bmatrix} I &0 \\ O' & 1 \\ \end{bmatrix}X=\begin{bmatrix} B &0 \\ O' &1 \\ \end{bmatrix}\qquad X=\begin{bmatrix} B &0 \\ O'-O'B &1 \\ \end{bmatrix} [IO′​01​]X=[BO′​01​]X=[BO′−O′B​01​]
X可以看成先平移回原点，相对原点 原地变换 坐标架，再平移过去：
X = [ B 0 − O ′ B 1 ] [ I 0 O ′ 1 ] X=\begin{bmatrix} B &0 \\ -O'B &1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I &0 \\ O'&1 \\ \end{bmatrix} X=[B−O′B​01​][IO′​01​]
[ B 0 − O ′ B 1 ] = [ I 0 − O ′ 1 ] [ B 0 0 1 ] \begin{bmatrix} B &0 \\ -O'B &1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I &0 \\ -O' &1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B &0 \\ 0&1 \\ \end{bmatrix} [B−O′B​01​]=[I−O′​01​][B0​01​]

注意到 X 与 ( B 0 0 1 ) \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (B0​01​) 是相似矩阵，正是同一(4维的)线性变换在不同基下的坐标表示。³