数学——三阶线性方程组的秩与平面交线的关系

2024年1月19日 153次阅读来源: 飞奔的六六

Ax=b

A为系数矩阵（三个平面的法向量），B(A|b)为增广矩阵

1、r(A)=r(B)=3

方程组有唯一解，三平面交于一点。

2、r(A)=2，r(B)=3

方程组无解，由于ra=2，必有两平面法向量不成比例，故必有两平面相交；因此有两种情况，一种是两平面平行，分别与另一平面相交；另一种是三平面两两互异且相交。

3、r(A)=r(B)=2

方程组有无穷多解，三平面有无穷多交点。ra=2必有两平面相交，rb=2至少有两平面互异；也有两种情况：三平面交于一条直线，或两平面相交，另一平面与其中一个平面重合。

4、r(A)=1，r(B)=2

方程组无解，三平面不相交。ra=1代表三平面平行，rb=2代表至少有两平面互异，因此有两种情况：三平面互异且相互平行、三平面平行，两平面重合。

5、r(A)=r(B)=1

无穷多解，三平面重合。

    原文作者：飞奔的六六
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