拉塞尔不变性原理

• • 极限集定义
  • 不变集定义
  • Lasalle不变集推论

常用收敛性判据，源自Lyapunov第二定律

参考书 非线性系统

极限集定义

如果对于每个 y ∈ S y\in S y∈S，存在一个严格递增的序列 t n t_n tn​,当 ∀ t > t 0 \forall t >t_0 ∀t>t0​, t → ∞ t\to \infty t→∞，满足
h ( x 0 , t 0 → t ) → y h(x_0,t_0 \to t)\to y h(x0​,t0​→t)→y
那么，集合 S ⊂ R n S \subset R^n S⊂Rn是轨迹 h ( x 0 , t 0 → t ) h(x_0,t_0 \to t) h(x0​,t0​→t)的极限集。

不变集定义

若集合 M ⊂ R n M \subset R^n M⊂Rn是一个（正）不变集，如果 ∀ y ∈ M \forall y \in M ∀y∈M, t 0 ⩽ 0 t_0\leqslant 0 t0​⩽0, 满足
h ( x 0 , t 0 → t ) ∈ M , ∀ t ⩾ t 0 h(x_0,t_0 \to t) \in M ,\forall t \geqslant t_0 h(x0​,t0​→t)∈M,∀t⩾t0​
可以证明每条轨迹的极限集是闭合且不变集。

Lasalle不变集推论

设 x = 0 x=0 x=0是自治系统 x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x)的一个平衡点， V : R n → R V:R^n \to R V:Rn→R是一个连续可微且径向无界的正定函数， R n R^n Rn包含原点 x = 0 x=0 x=0，且在 R n R^n Rn内满足 V ˙ ( x ) ⩽ 0 \dot{V}(x) \leqslant 0 V˙(x)⩽0。
设：
S = { x ∈ R n : V ˙ ( x ) = 0 } S=\lbrace x \in R^n : \dot{V}(x) = 0 \rbrace S={ x∈Rn:V˙(x)=0}
并假设平凡解 x ( t ) ≡ 0 x(t) \equiv 0 x(t)≡0之外，没有其他解同样保持在 S S S内，那么原点是全局渐近稳定的。