样本均值的特征与分布

@(概率论)

这个分布的推导将需要回到大数定律与中心极限定理中去才能证明。

需要严格区分样本均值与一次取样的分布。

X1,X2,...,Xn 是取自总体的样本，则

E(Xi)=u,D(Xi)=σ2

E(X⎯⎯⎯)=u,D(X⎯⎯⎯)=σ2n

证明如下：

X⎯⎯⎯=1n∑i=1nXiE(X⎯⎯⎯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=u;D(X⎯⎯⎯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(Xi)=nn2σ2=1nσ2

常见的如总体X服从的是正态分布，即 X∼N(μ,σ2)

特别注意：

Xi∼N(μ,σ2);X⎯⎯⎯∼N(μ,σ2n)

再引申一步：

(Xi−μ)2σ2∼χ2(1);n(X⎯⎯⎯−μ)2σ2∼χ2(1)

这是很小的细节，但是却可以影响全局，小心。

此外，结合样本方差考察，样本方差是修正的值，因此需要特别注意n-1.

常见的： (n−1)S2σ2∼χ2(n−1) ,就是缺少一个自由度的表现。