A、B是两个n*n的矩阵,计算C=A*B。
传统算法:
按照下面公式计算,需要n3次乘法和n3-n2次加法,时间复杂度为Θ(n3)。
递归算法:
假定n为2的幂,将A、B、C分成4个大小为(n/2)*(n/2)的子矩阵。
用分治法来计算C。
需要8次(n/2)*(n/2)矩阵的乘法和4次(n/2)*(n/2)矩阵的加法,其中乘法是原来的1/8倍消费,加法是原来的1/4倍耗费。用m表示n=1是乘法的耗费,用a表示加法的耗费。
于是有了下面的递推式:
可以推出:
同样需要n3次乘法和n3-n2次加法,与传统方法相比,时间复杂度没有改进,反而还增加了递归带来的管理开销。
Strassen算法:
复杂度为o(n3),运行时间渐进少于n3。
像递归方法一样划分矩阵,但在计算C的时候有一些不同。
首先计算出一些中间值:
再由这些中间值得出C:
Strassen算法进行了18次加法和7次乘法。对于运行时间有如下的递推式:
经过计算可得,运行时间为Θ(nlog7)=O(n2.81)。
三个算法的比较:
没有相关代码,但贴一个常用的矩阵类模板:
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int dim=20; //最高的维度,可调
int mod=1000000007; // 结果取的模,可调
int mk=5;// 运算时是运算几维矩阵的,可调
struct Matrix
{
ll a[dim][dim];
Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
};
Matrix operator *(const Matrix& a,const Matrix& b)
{
Matrix ret;
for(int i=0;i<mk;++i)
for(int j=0;j<mk;++j)
for(int k=0;k<mk;++k)
{
ret.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
ret.a[i][j]%=mod;
}
return ret;
}
Matrix operator ^(Matrix x, ll n)
{
Matrix ret;
for(int i=0;i<mk;++i)ret.a[i][i]=1;
while(n)
{
if(n&1)ret=ret*x;
x=x*x;
n>>=1;
}
return ret;
}
int main()
{
int a;
cin>>a;
}