蚁群算法简介

蚁群算法（Ant Clony Optimization， ACO）是一种群智能算法，它是由一群无智能或有轻微智能的个体（Agent）通过相互协作而表现出智能行为，从而为求解复杂问题提供了一个新的方法。
蚁群算法是一种模拟进化算法，初步的研究表明该算法具有许多优良的性质。

蚁群算法最早用来求解TSP问题，并且表现出了很大的优越性，因为它分布式特性，鲁棒性强并且容易与其它算法结合，但是同时也存在这收敛速度慢，容易陷入局部最优（local optimal）等缺点。

蚂蚁寻找食物

蚂蚁在行走过程中会释放一种称为“信息素”的物质，用来标识自己的行走路径。在寻找食物的过程中，根据信息素的浓度选择行走的方向，并最终到达食物所在的地方。

而信息素会随着时间的推移而逐渐挥发，所以在一开始的时候，由于地面上没有信息素，因此蚂蚁们的行走路径是随机的。蚂蚁们在行走的过程中会不断释放信息素，标识自己的行走路径。随着时间的推移，有若干只蚂蚁找到了食物，此时便存在若干条从洞穴到食物的路径。由于蚂蚁的行为轨迹是随机分布的，因此在单位时间内，短路径上的蚂蚁数量比长路径上的蚂蚁数量要多，从而蚂蚁留下的信息素浓度也就越高。这为后面的蚂蚁们提供了强有力的方向指引，越来越多的蚂蚁聚集到最短的路径上去。

优化问题与蚂蚁寻找食物的关系

蚁群算法基本操作

初始化参数

蚁群算法所需要的参数：

• 蚁群规模（蚂蚁数量） m m m
• 信息素重要程度因子 α \alpha α
• 启发函数重要程度因子 β \beta β
• 信息素挥发因子 ρ \rho ρ
• 信息素释放总量 Q Q Q
• 最大迭代次数 i t e r m a x iter_{max} itermax​

另外，设节点i与节点j之间的距离（权）为 d i j   ( i , j = 1 , 2 , . . . , n ) d_{ij} \ (i,j=1,2,…,n) dij​ (i,j=1,2,...,n)， t t t时刻节点i与节点j连接路径上的信息素浓度为 τ i j ( t ) \tau_{ij}(t) τij​(t)，在初始时刻各路径上信息素浓度相同，即 τ i j ( 0 ) = τ 0 \tau_{ij}(0) = \tau_0 τij​(0)=τ0​。

构建解空间

• 随机将蚂蚁置于所有出发点
• 蚂蚁按规则访问所有节点
• 计算每个蚂蚁经过的路径和长度，求出最优路径

访问规则：蚂蚁 k   ( k = 1 , 2 , . . . , m ) k \ (k = 1,2,…,m) k (k=1,2,...,m)根据各个节点连接路径上的信息素浓度和路径距离（权）决定其下一个要访问的节点。t时刻蚂蚁k从节点i访问节点j的概率（蚂蚁已经在节点i）为：

P i j k = [ τ i j ( t ) ] α ∗ [ η i j ( t ) ] β ∑ s ∈ a l l o w k [ τ i j ( t ) ] α ∗ [ η i j ( t ) ] β s ∈ a l l o w k P^k_{ij} = \frac{[\tau_{ij}(t)]^\alpha*[\eta_{ij}(t)]^\beta}{\sum_{s \in allow_k}[\tau_{ij}(t)]^\alpha*[\eta_{ij}(t)]^\beta} \qquad s \in allow_k Pijk​=∑s∈allowk​​[τij​(t)]α∗[ηij​(t)]β[τij​(t)]α∗[ηij​(t)]β​s∈allowk​
其中 η i j \eta_{ij} ηij​为启发函数， η i j = 1 d i j \eta_{ij} = \frac{1}{d_{ij}} ηij​=dij​1​，表示蚂蚁从节点i转移到节点j的期望程度； a l l o w k allow_k allowk​表示蚂蚁k剩余待访问的节点集合。

更新信息素

蚂蚁访问完所有城市之后，进行信息素的更新。信息素的更新包括挥发和蚂蚁的产生，由以下公式决定：

τ i j ( t + 1 ) = ( 1 − ρ ) τ i j ( t ) + Δ τ i j \tau_{ij}(t+1) = (1-\rho)\tau_{ij}(t)+\Delta\tau_{ij} τij​(t+1)=(1−ρ)τij​(t)+Δτij​

前一部分是信息素的挥发，后一部分表示每只蚂蚁在这一段路上新差生的信息素。

Δ τ i j = ∑ k = 1 n Δ τ i j k \Delta\tau_{ij} = \sum_{k=1}^n \Delta\tau_{ij}^k Δτij​=k=1∑n​Δτijk​
即对每只蚂蚁在该段路上释放信息素浓度之和。而对于蚂蚁k在i到j之间所释放的信息素 Δ τ i j k \Delta\tau_{ij}^k Δτijk​的计算，有三种不同的模型：

• 蚁周模型：释放总量一定，利用路径整体信息计算：（ L k L_k Lk​为第k只蚂蚁经过路径的总长）
  Δ τ i j k = Q L k \Delta\tau_{ij}^k = \frac{Q}{L_k} Δτijk​=Lk​Q​
• 蚁量模型：释放总量一定，利用路径局部信息计算：
  Δ τ i j k = Q d i j \Delta\tau_{ij}^k = \frac{Q}{d_{ij}} Δτijk​=dij​Q​
• 蚁密模型：每段路释放量一定：
  Δ τ i j k = Q \Delta\tau_{ij}^k = Q Δτijk​=Q

判断终止与迭代

递增迭代次数计数器，如果达到了最大代数则输出，否则清空路径记录表继续迭代。

代码实现

代码使用蚁群算法计算中国TSP问题的最优解。

% 使用蚁群算法解决旅行商（TSP）问题的优化
% 中国31个省会城市的坐标数据保存在文件city_data.mat中

%导入数据
load city_data.mat

%计算城市之间的相互距离矩阵
n = size(city_data,1); %城市数目为n
D = zeros(n,n); %距离矩阵为D
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt((city_data(i,1)-city_data(j,1))^2+(city_data(i,2)-city_data(j,2))^2);
        else
            D(i,j) = 1e-4; %为了不使启发函数变成inf
        end
    end
end

%初始化蚁群算法各个参数
eta = 1./D; %启发函数
m = 31; %蚂蚁个数31
alpha = 1; %信息素重要程度因子
beta = 5; %启发函数重要程度因子
rho = 0.5; %信息素挥发因子
Q = 1; %信息素释放总量
iter_max = 400; %最大迭代次数
iter = 0; %代数初值
Table = zeros(m,n); %每只蚂蚁的路径记录表
tau = ones(n,n); %各节点间路径上的信息素含量记录表（tau0 = 1)

%开始迭代
while 1
    
    %结束迭代的条件
    iter = iter + 1;
    if iter >= iter_max
        break
    end
    
    %清空路径记录表
    Table = zeros(m,n);
    
    %构建解空间
    city = 1:n;
    
    %随机将蚂蚁置于所有出发点
    start = floor(n*rand(m,1))+1;
    Table(:,1) = start;
    
    %逐个蚂蚁进行路径选择
    for i = 1:m
        %对于每个蚂蚁，逐个节点进行访问
        for j = 2:n
            %初始化以访问的节点（禁忌表）
            tabu = Table(i,1:(j-1));
            allow = city(~ismember(city,tabu));
            %计算节点间转移概率
            P = zeros(size(allow));
            for k = 1:length(allow)
                P(k) = tau(tabu(end),allow(k))^alpha * eta(tabu(end),allow(k))^beta;
            end
            P = P/sum(P);
            %轮盘赌法选择下一个访问的城市
            P_sum = cumsum(P);
            target = allow(find(P_sum >= rand,1));
            Table(i,j) = target;
        end
    end
    
    %计算每个蚂蚁经过的路径
    Length = zeros(m,1);
    for i = 1:m
        Route = Table(i,:);
        for j = 1:(n-1)
            Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j+1));
        end
        Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
    end
    
    %更新信息素
    Delta_tau = zeros(n,n);
    for i = 1:m
        for j = 1:(n-1)
            Delta_tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
        end
        Delta_tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
    end
    tau = (1-rho)*tau + Delta_tau;
    
end

min(Length)

代码输出结果为：

而中国TSP问题的最新研究结果为15377km，因此该算法寻求到的是一个局部最优解。