1. 蚁群算法简介
蚁群算法（Ant Clony Optimization， ACO）是一种群智能算法，它是由一群无智能或有轻微智能的个体（Agent）通过相互协作而表现出智能行为，从而为求解复杂问题提供了一个新的可能性。蚁群算法最早是由意大利学者Colorni A., Dorigo M. 等于1991年提出。经过20多年的发展，蚁群算法在理论以及应用研究上已经得到巨大的进步。
蚁群算法是一种仿生学算法，是由自然界中蚂蚁觅食的行为而启发的。在自然界中，蚂蚁觅食过程中，蚁群总能够按照寻找到一条从蚁巢和食物源的最优路径。图（1）显示了这样一个觅食的过程。
图（1）蚂蚁觅食
在图1（a）中，有一群蚂蚁，假如A是蚁巢，E是食物源（反之亦然）。这群蚂蚁将沿着蚁巢和食物源之间的直线路径行驶。假如在A和E之间突然出现了一个障碍物（图1（b）），那么，在B点（或D点）的蚂蚁将要做出决策，到底是向左行驶还是向右行驶？由于一开始路上没有前面蚂蚁留下的信息素（pheromone），蚂蚁朝着两个方向行进的概率是相等的。但是当有蚂蚁走过时，它将会在它行进的路上释放出信息素，并且这种信息素会议一定的速率散发掉。信息素是蚂蚁之间交流的工具之一。它后面的蚂蚁通过路上信息素的浓度，做出决策，往左还是往右。很明显，沿着短边的的路径上信息素将会越来越浓（图1（c）），从而吸引了越来越多的蚂蚁沿着这条路径行驶。
2. TSP问题描述
蚁群算法最早用来求解TSP问题，并且表现出了很大的优越性，因为它分布式特性，鲁棒性强并且容易与其它算法结合，但是同时也存在这收敛速度慢，容易陷入局部最优（local optimal）等缺点。
TSP问题（Travel Salesperson Problem，即旅行商问题或者称为中国邮递员问题），是一种，是一种NP-hard问题，此类问题用一般的算法是很大得到最优解的，所以一般需要借助一些启发式算法求解，例如遗传算法（GA），蚁群算法（ACO），微粒群算法（PSO）等等。
TSP问题可以分为两类，一类是对称TSP问题（Symmetric TSP），另一类是非对称问题（Asymmetric TSP）。所有的TSP问题都可以用一个图（Graph）来描述：
令
V={c1, c2, …, ci, …, cn}，i = 1,2, …, n，是所有城市的集合.ci表示第i个城市，n为城市的数目；
E={(r, s): r,s∈ V}是所有城市之间连接的集合；
C = {crs: r,s∈ V}是所有城市之间连接的成本度量（一般为城市之间的距离）；
如果crs = csr, 那么该TSP问题为对称的，否则为非对称的。
一个TSP问题可以表达为：
求解遍历图G = (V, E, C)，所有的节点一次并且回到起始节点，使得连接这些节点的路径成本最低。
3. 蚁群算法原理
假如蚁群中所有蚂蚁的数量为m，所有城市之间的信息素用矩阵pheromone表示，最短路径为bestLength，最佳路径为bestTour。每只蚂蚁都有自己的内存，内存中用一个禁忌表（Tabu）来存储该蚂蚁已经访问过的城市，表示其在以后的搜索中将不能访问这些城市；还有用另外一个允许访问的城市表（Allowed）来存储它还可以访问的城市；另外还用一个矩阵（Delta）来存储它在一个循环（或者迭代）中给所经过的路径释放的信息素；还有另外一些数据，例如一些控制参数（
，
，
，Q），该蚂蚁行走玩全程的总成本或距离（tourLength），等等。假定算法总共运行MAX_GEN次，运行时间为t。
蚁群算法计算过程如下：
（1）初始化
设t=0，初始化bestLength为一个非常大的数（正无穷），bestTour为空。初始化所有的蚂蚁的Delt矩阵所有元素初始化为0，Tabu表清空，Allowed表中加入所有的城市节点。随机选择它们的起始位置（也可以人工指定）。在Tabu中加入起始节点，Allowed中去掉该起始节点。
（2）为每只蚂蚁选择下一个节点。
为每只蚂蚁选择下一个节点，该节点只能从Allowed中以某种概率（公式1）搜索到，每搜到一个，就将该节点加入到Tabu中，并且从Allowed中删除该节点。该过程重复n-1次，直到所有的城市都遍历过一次。遍历完所有节点后，将起始节点加入到Tabu中。此时Tabu表元素数量为n+1（n为城市数量），Allowed元素数量为0。接下来按照（公式2）计算每个蚂蚁的Delta矩阵值。最后计算最佳路径，比较每个蚂蚁的路径成本，然后和bestLength比较，若它的路径成本比bestLength小，则将该值赋予bestLength，并且将其Tabu赋予BestTour。
（公式1）
（公式2）
其中
表示选择城市j的概率，k表示第k个蚂蚁，
表示城市i，j在第t时刻的信息素浓度，
表示从城市i到城市j的可见度，
，
表示城市i，j之间的成本（或距离）。由此可见
越小，
越大，也就是从城市i到j的可见性就越大。
表示蚂蚁k在城市i与j之间留下的信息素。
表示蚂蚁k经过一个循环（或迭代）锁经过路径的总成本（或距离），即tourLength.
，
，Q均为控制参数。
（3）更新信息素矩阵
令t = t + n，按照（公式3）更新信息素矩阵phermone。
（公式3）
为t+n时刻城市i与j之间的信息素浓度。
为控制参数，
为城市i与j之间信息素经过一个迭代后的增量。并且有
（公式4）
其中
由公式计算得到。
（4）检查终止条件
如果达到最大代数MAX_GEN，算法终止，转到第（5）步；否则，重新初始化所有的蚂蚁的Delt矩阵所有元素初始化为0，Tabu表清空，Allowed表中加入所有的城市节点。随机选择它们的起始位置（也可以人工指定）。在Tabu中加入起始节点，Allowed中去掉该起始节点，重复执行（2），（3）,(4)步。
（5）输出最优值
4. Java实现
在该java实现中我们选择使用tsplib上的数据att48，这是一个对称tsp问题，城市规模为48，其最优值为10628.其距离计算方法如图（2）所示：
图（2）att48距离计算方法
实现中，使用了两个java类，一个Ant类，一个ACO类。（在转载的前提下做了一点点个人的修改）
具体实现代码如下（此代码借鉴了蚁群优化算法的JAVA实现）：
package tsp;
import java.util.Random;
import java.util.Vector;
/**
*
* @author ychXu
*
*/
public class Ant implements Cloneable
{
/**
* 已搜索过的城市
*/
private Vector<Integer> tabu; // 已搜索过的城市
/**
* 尚未搜索的城市
*/
private Vector<Integer> allowedCities; // 尚未搜索的城市
/**
* 信息素变化矩阵
*/
private double[][] delta; // 信息素变化矩阵
/**
* 城市间距离矩阵
*/
private int[][] distance; // 城市间距离矩阵
/**
* 公式常量
*/
private double alpha; // 公式常量
/**
* 公式常量
*/
private double beta; // 公式常量
/**
* 路径长度
*/
private int tourLength; // 路径长度
/**
* 城市数量
*/
private int cityNum; // 城市数量
/**
* 起始城市
*/
private int firstCity; // 起始城市
/**
* 当前城市
*/
private int currentCity; // 当前城市
/**
* Constructor of Ant
*/
public Ant()
{
cityNum = 30;
tourLength = 0;
}
/**
* Constructor of Ant
*
* @param num
* 蚂蚁数量
*/
public Ant(int num)
{
cityNum = num;
tourLength = 0;
}
/**
* 初始化蚂蚁，随机选择起始位置
*
* @param distance
* 距离矩阵
* @param a
* alpha
* @param b
* beta
*/
public void init(int[][] distance, double a, double b)
{
alpha = a;
beta = b;
allowedCities = new Vector<Integer>();
tabu = new Vector<Integer>();
this.distance = distance;
delta = new double[cityNum][cityNum];
// 初始化数据成员
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
Integer integer = new Integer(i);
allowedCities.add(integer);
for (int j = 0; j < cityNum; j++)
{
delta[i][j] = 0.0;
}
}
// 随机选择第一个城市位置
Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
firstCity = random.nextInt(cityNum);
for (Integer i : allowedCities)
{
if (i.intValue() == firstCity)
{
allowedCities.remove(i);
break;
}
}
tabu.add(Integer.valueOf(firstCity));
currentCity = firstCity;
}
/**
* 选择下一个城市,根据信息素
*
* @param pheromone
* 信息素矩阵
*/
public void selectNextCity(double[][] pheromone)
{
double[] p = new double[cityNum];
double sum = 0;
// 计算分母部分
for (Integer i : allowedCities)
{
sum += Math.pow(pheromone[currentCity][i.intValue()], alpha)
* Math.pow(1.0 / distance[currentCity][i.intValue()], beta);
}
// 计算概率矩阵
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
boolean flag = false;
for (Integer j : allowedCities)
{
if (i == j.intValue())
{
p[i] = (Math.pow(pheromone[currentCity][i], alpha) * Math
.pow(1.0 / distance[currentCity][i], beta))
/ sum;
flag = true;
break;
}
}
if (flag == false)
{
p[i] = 0.0;
}
}
// 采用轮盘赌选择下一个城市
Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
double sleectP = random.nextDouble();
int selectCity = 0;
double sum1 = 0.f;
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
sum1 += p[i];
if (sum1 >= sleectP)
{
selectCity = i;
break;
}
}
// 从允许选择的城市中去除select city
for (Integer i : allowedCities)
{
if (i.intValue() == selectCity)
{
allowedCities.remove(i);
break;
}
}
// 在已搜索过的城市表中添加select city
tabu.add(Integer.valueOf(selectCity));
// 将当前城市改为选择的城市
currentCity = selectCity;
}
/**
* 计算当前蚂蚁路径长度
*
* @return 路径长度
*/
private int calculateTourLength()
{
int len = 0;
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
len += distance[this.tabu.get(i).intValue()][this.tabu.get(i + 1)
.intValue()];
}
return len;
}
public Vector<Integer> getAllowedCities()
{
return allowedCities;
}
public void setAllowedCities(Vector<Integer> allowedCities)
{
this.allowedCities = allowedCities;
}
public int getTourLength()
{
tourLength = calculateTourLength();
return tourLength;
}
public void setTourLength(int tourLength)
{
this.tourLength = tourLength;
}
public int getCityNum()
{
return cityNum;
}
public void setCityNum(int cityNum)
{
this.cityNum = cityNum;
}
public Vector<Integer> getTabu()
{
return tabu;
}
public void setTabu(Vector<Integer> tabu)
{
this.tabu = tabu;
}
public double[][] getDelta()
{
return delta;
}
public void setDelta(double[][] delta)
{
this.delta = delta;
}
public int getFirstCity()
{
return firstCity;
}
public void setFirstCity(int firstCity)
{
this.firstCity = firstCity;
}
}package tsp;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
/**
*
* @author ychXu
*
*/
public class ACO
{
/**
* 蚁群
*/
private Ant[] ants; // 蚂蚁
/**
* 蚂蚁数量
*/
private int antNum; // 蚂蚁数量
/**
* 城市数量
*/
private int cityNum; // 城市数量
/**
* 迭代次数
*/
private int MAX_GEN; // 迭代次数
/**
* 信息素矩阵
*/
private double[][] pheromone; // 信息素矩阵
/**
* 距离矩阵
*/
private int[][] distance; // 距离矩阵
/**
* 最佳长度
*/
private int bestLength; // 最佳长度
/**
* 最佳路径
*/
private int[] bestTour; // 最佳路径
private double alpha;
private double beta;
/**
* 信息素蒸发率
*/
private double rho;
public ACO()
{
}
/**
* constructor of ACO
*
* @param n
* 城市数量
* @param m
* 蚂蚁数量
* @param g
* 运行代数
* @param a
* alpha
* @param b
* beta
* @param r
* rho
*
**/
public ACO(int n, int m, int g, double a, double b, double r)
{
cityNum = n;
antNum = m;
ants = new Ant[antNum];
MAX_GEN = g;
alpha = a;
beta = b;
rho = r;
}
/**
* 初始化ACO算法类
*
* @param filename
* 数据文件名，该文件存储所有城市节点坐标数据
* @throws IOException
*/
public void init(String filename) throws FileNotFoundException, IOException
{
// 读取数据
int[] x = new int[cityNum];
int[] y = new int[cityNum];
String strbuff;
BufferedReader data = new BufferedReader(new InputStreamReader(
new FileInputStream(filename)));
distance = new int[cityNum][cityNum];
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
strbuff = data.readLine();
String[] strcol = strbuff.split(" ");
x[i] = Integer.valueOf(strcol[1]).intValue();
y[i] = Integer.valueOf(strcol[2]).intValue();
}
// 计算距离矩阵
// 针对具体问题，距离计算方法也不一样，此处用的是att48作为案例，它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628
for (int i = 0; i < cityNum - 1; i++)
{
distance[i][i] = 0; // 对角线为0
for (int j = i + 1; j < cityNum; j++)
{
double rij = Math
.sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j])
* (y[i] - y[j])) / 10.0);
int tij = (int) Math.round(rij);
if (tij < rij)
{
distance[i][j] = tij + 1;
distance[j][i] = distance[i][j];
}
else
{
distance[i][j] = tij;
distance[j][i] = distance[i][j];
}
}
}
distance[cityNum - 1][cityNum - 1] = 0;
// 初始化信息素矩阵
pheromone = new double[cityNum][cityNum];
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
for (int j = 0; j < cityNum; j++)
{
pheromone[i][j] = 0.1; // 初始化为0.1
}
}
bestLength = Integer.MAX_VALUE;
bestTour = new int[cityNum + 1];
// 随机放置蚂蚁
for (int i = 0; i < antNum; i++)
{
ants[i] = new Ant(cityNum);
ants[i].init(distance, alpha, beta);
}
}
public void solve()
{
for (int g = 0; g < MAX_GEN; g++)
{
// 每一只蚂蚁移动的过程
for (int i = 0; i < antNum; i++)
{
for (int j = 1; j < cityNum; j++)
{
ants[i].selectNextCity(pheromone);
}
// 蚂蚁回到起始位置FirstCity
ants[i].getTabu().add(ants[i].getFirstCity());
// 计算蚂蚁路径的长度
if (ants[i].getTourLength() < bestLength)
{
bestLength = ants[i].getTourLength();
System.out.println("第" + g + "迭代，发现新的解" + bestLength);
for (int k = 0; k < cityNum + 1; k++)
{
bestTour[k] = ants[i].getTabu().get(k).intValue();
System.out.print(bestTour[k] + " ");
}
System.out.println();
}
for (int j = 0; j < cityNum; j++)
{
ants[i].getDelta()[ants[i].getTabu().get(j).intValue()][ants[i]
.getTabu().get(j + 1).intValue()] = 1.0 / ants[i]
.getTourLength();
ants[i].getDelta()[ants[i].getTabu().get(j + 1).intValue()][ants[i]
.getTabu().get(j).intValue()] = 1.0 / ants[i]
.getTourLength();
}
}
// 更新信息素
updatePheromone();
// 重新初始化蚂蚁
for (int i = 0; i < antNum; i++)
{
ants[i].init(distance, alpha, beta);
}
}
System.out.println("\n迭代完毕。");
// 打印最佳结果
printOptimal();
}
// 更新信息素
private void updatePheromone()
{
// 信息素挥发
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
for (int j = 0; j < cityNum; j++)
pheromone[i][j] = pheromone[i][j] * (1 - rho);
// 信息素更新
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
{
for (int j = 0; j < cityNum; j++)
{
for (int k = 0; k < antNum; k++)
{
pheromone[i][j] += ants[k].getDelta()[i][j];
}
}
}
}
private void printOptimal()
{
System.out.println("The optimal length is: " + bestLength);
System.out.println("The optimal tour is: ");
for (int i = 0; i < cityNum + 1; i++)
{
System.out.print(bestTour[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public Ant[] getAnts()
{
return ants;
}
public void setAnts(Ant[] ants)
{
this.ants = ants;
}
public int getAntNum()
{
return antNum;
}
public void setAntNum(int m)
{
this.antNum = m;
}
public int getCityNum()
{
return cityNum;
}
public void setCityNum(int cityNum)
{
this.cityNum = cityNum;
}
public int getMAX_GEN()
{
return MAX_GEN;
}
public void setMAX_GEN(int mAX_GEN)
{
MAX_GEN = mAX_GEN;
}
public double[][] getPheromone()
{
return pheromone;
}
public void setPheromone(double[][] pheromone)
{
this.pheromone = pheromone;
}
public int[][] getDistance()
{
return distance;
}
public void setDistance(int[][] distance)
{
this.distance = distance;
}
public int getBestLength()
{
return bestLength;
}
public void setBestLength(int bestLength)
{
this.bestLength = bestLength;
}
public int[] getBestTour()
{
return bestTour;
}
public void setBestTour(int[] bestTour)
{
this.bestTour = bestTour;
}
public double getAlpha()
{
return alpha;
}
public void setAlpha(double alpha)
{
this.alpha = alpha;
}
public double getBeta()
{
return beta;
}
public void setBeta(double beta)
{
this.beta = beta;
}
public double getRho()
{
return rho;
}
public void setRho(double rho)
{
this.rho = rho;
}
}
package tsp;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.IOException;
import java.util.logging.Level;
import java.util.logging.Logger;
/**
* @author ychXu
*
*/
public class TSP
{
/**
* @param args
* @throws IOException
*/
public static void main(String[] args) throws IOException
{
ACO aco = new ACO(48, 100, 1000, 1.0f, 5.0f, 0.5f);
try
{
aco.init("D://1.tsp");
aco.solve();
}
catch (FileNotFoundException ex)
{
Logger.getLogger(TSP.class.getName()).log(Level.SEVERE, null, ex);
}
catch (IOException ex)
{
Logger.getLogger(TSP.class.getName()).log(Level.SEVERE, null, ex);
}
}
}
5. 总结
蚁群算法和其它的启发式算法一样，在很多场合都得到了应用，并且取得了很好的结果。但是同样存在着很多的缺点，例如收敛速度慢，容易陷入局部最优，等等。对于这些问题，还需要进一步的研究和探索，另外蚁群算法的数学机理至今还没有得到科学的解释，这也是当前研究的热点和急需解决的问题之一。注：TSP数据文件以及两篇早期的关于蚁群算法的文章包含在附件中，请点击此处下载附件。
