题目概述

给出一个序列，选出 k k 个长度在 [L,R] [ L , R ] 的子段（不可选重），求 k k 个子段的和的最大值。

解题报告

2017.8.8Update：好像因为这种贪心套路特别经典就被冠名超级钢琴了233333。

如果我们把所有长度在 [L,R] [ L , R ] 的子段都处理出来并从大到小排序，那么根据贪心，肯定选前 k k 个最优秀。

但我们不可能把所有满足要求的子段都处理出来：太多了。需要注意到的是， k k 并不是很大，所以我们要想办法每次都选最大的满足要求的子段， 选 k k 次累加起来就是答案。

定义 MAX(i,l,r)=max{sum(i)−sum(t−1)|l≤t≤r} M A X ( i , l , r ) = m a x { s u m ( i ) − s u m ( t − 1 ) | l ≤ t ≤ r } ，即以 i i 为右端点，左端点范围在 [l,r] [ l , r ] 之间的最大子段， sum s u m 是前缀和。我们考虑一个位置 i i ， MAX(i,max(i−R+1,1),i−L+1) M A X ( i , m a x ( i − R + 1 , 1 ) , i − L + 1 ) 是以 i i 为右端点的初始最优解，那么从所有初始最优解中刷出最大的就是第一大的满足子段。

假设第一大的三元组是 (i,l,r) ( i , l , r ) ，最优解位置在 t t ，那么由于 t t 已经被选了，所以 [l,r] [ l , r ] 被拆成了 [l,t−1] [ l , t − 1 ] 和 [t+1,r] [ t + 1 , r ] ，把 (i,l,t−1) ( i , l , t − 1 ) 和 (i,t+1,r) ( i , t + 1 , r ) 加入待选三元组。不停地从待选三元组中选出 MAX M A X 最大的三元组，并加入新产生的三元组，选 k k 次即可。

已经有了想法，接下来我们只需要解决两个问题即可：

1. 如何快速求出 MAX(i,l,r) M A X ( i , l , r ) ：由于 i i 固定，所以用ST算法预处理区间最小值即可。
2. 如何快速选出最大的 MAX M A X ：用堆即可。

示例程序

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=500000,Log=19;

int n,K,L,R,sum[maxn+5],RMQ[maxn+5][Log+5];
LL ans;

inline bool Eoln(char ch) {return ch==10||ch==13||ch==EOF;}
inline char readc()
{
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF; else return *l++;
}
inline int readi(int &x)
{
    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';
    while ('9'<ch||ch<'0') {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}
    if (lst=='-') f=-f;
    while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+ch-48,ch=readc();
    return x=tot*f,Eoln(ch);
}
int Miner(int i,int j) {if (sum[i-1]<sum[j-1]) return i; else return j;}
void make_RMQ()
{
    for (int j=1,k=log2(n);j<=k;j++)
    for (int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
        RMQ[i][j]=Miner(RMQ[i][j-1],RMQ[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int Ask(int L,int R) {int j=log2(R-L+1);return Miner(RMQ[L][j],RMQ[R-(1<<j)+1][j]);}
struct data
{
    int i,L,R,t;
    data(int a,int b,int c,int d) {i=a;L=b;R=c;t=d;}
    bool operator < (const data &c) const {return sum[i]-sum[t-1]<sum[c.i]-sum[c.t-1];}
};
priority_queue<data> Heap;
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    readi(n);readi(K);readi(L);readi(R);
    for (int i=1,x;i<=n;i++) readi(x),sum[i]=sum[i-1]+x,RMQ[i][0]=i;make_RMQ();
    while (!Heap.empty()) Heap.pop();
    for (int i=L;i<=n;i++)
    {
        int l=max(i-R+1,1),r=i-L+1;
        Heap.push(data(i,l,r,Ask(l,r)));
    }
    while (K--)
    {
        data now=Heap.top();Heap.pop();
        ans+=sum[now.i]-sum[now.t-1];
        if (now.t>now.L) Heap.push(data(now.i,now.L,now.t-1,Ask(now.L,now.t-1)));
        if (now.t<now.R) Heap.push(data(now.i,now.t+1,now.R,Ask(now.t+1,now.R)));
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}