算法与数据结构-回溯法及八皇后问题求解

2023年9月10日 243次阅读 来源: 回溯法

序言

在笔试中会遇到一些可以用常用算法就能快速解决的问题，如果对这些算法不熟悉的话，在笔试中是比较吃亏的。

这篇文章学习回溯法及用回溯法解决的八皇后问题。

1. 回溯法

  • 基本思想

    • 有时我们要得到问题的解，先从其中某一种情况进行试探，在试探过程中，一旦发现原来的选择是错误的，那么就退回一步重新选择，然后继续向前试探，反复这样的过程直到求出问题的解。

    • 回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

  • 算法步骤

    • 明确问题的解空间：描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。

    • 构造约束函数/剪枝函数：约束函数是根据题意给出的，通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。

    • 通过DFS思想完成回溯

2. 八皇后问题

  • 问题描述

    • 八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后，使得棋盘中每个纵向、横向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。即各个皇后之间不再同一行、不在同一列也不在对角线。

  • 问题求解

    • 采用回溯法求解。从上至下依次在每一行放置皇后，进行搜索，若在某一行的任意一列放置皇后均不能满足要求，则不再向下搜索，而进行回溯，回溯至有其他列可放置皇后的一行，再向下搜索，直到搜索至最后一行，找到可行解，输出。

    • 步骤

    1. 构造n × n的数组。数组下标表示皇后所在行、数组元素表示皇后所在列。

2. 回溯过程：假设前n-1行的皇后已经按照规则排列好，那么可以使用回溯法逐个试出第n行皇后的合法位置。
   所有皇后的初始位置都是第0列，那么逐个尝试就是从0试到N-1，如果达到N，仍未找到合法位置，
   回退一行，且该行的皇后的位置加1，继续尝试。如果目前处于第0行，还要再回退，说明此问题已再无解。

3. 剪枝函数/约束函数：如果当前行的皇后的位置还是在0到N-1的合法范围内，那么首先要判断该行的皇后是否与前几
   行的皇后互相冲突，如果冲突，该行的皇后的位置加1，继续尝试；如果不冲突，判断下一行的皇后。
   如果已经是最后一行，说明已经找到一个解，输出这个解。

4. 然后最后一行的皇后的位置加1，继续尝试下一个解。

代码（C，递归方式）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define bool char
#define true 1
#define false 0

#define N 8

void solve(int row);
bool valid(int row, int column);

void output(void);      //输出函数
int matrix[N][N] = {{0}};       //棋盘,声明为全局变量简化valid函数参数
int counter = 0;        //方案计数

/* 主函数 */
int main()
{
    BackTrack(1);
    return 0;
}

/* 递归函数实现回溯算法 */
void BackTrack(int row)
{
    int j;
    for (j = 0; j < N; j++)
    {
        matrix[row - 1][j] = 1;         //先在第一列放置皇后
        if (valid(row - 1, j))
        {
            if (row == N) output();     //有解，将一直递归至最后一行并输出
            else BackTrack(row + 1);
        }
        matrix[row - 1][j] = 0;         //否则，看当前行下一列
    }
}

/* 剪枝函数：验证第row行第column列放置皇后是否可行 */
bool valid(int row, int column)
{
    if (row == 0) return true;          //第一行，无条件输出
    //不在同一列
    int i = 0, j = 0;
    for (; i < row; i++)
    {
        if (matrix[i][column] == 1)
            return false;
    }
    //不在对角线:主对角线和副对角线
    i = row - 1;                        //当前行是row - 1行，上一行row - 2
    j = column - (row - i);         //对角线：行差 = 列差，即row - 1 - i = column - j
    while (i >= 0 && j >= 0)
    {
        if (matrix[i][j] == 1)
            return false;
        i--;
        j--;
    }
    i = row - 1;
    j = column + (row - i);         //对角线：行差 = 列差，即row - 1 - i = j - column
    while (i >= 0 && j <= 7)
    {
        if (matrix[i][j] == 1)
            return false;
        i--;
        j++;
    }
    //否则，可行
    return true;
}

/* 可行方案输出 */
void output(void)
{
    int i, j;
    counter++;
    printf("solution %dth: \n", counter);
    for (i = 0; i < N; i++)
    {
        for (j = 0; j < N; j++)
        {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}

Acknowledgements:

http://zephiruswt.blog.51cto.com/5193151/895797

http://blog.csdn.net/daniel_ustc/article/details/17040315

http://blog.csdn.net/sinat_33052719/article/details/51447531

2017.09.12

    原文作者：回溯法
    原文地址: https://blog.csdn.net/baidu_35692628/article/details/77894529
    本文转自网络文章，转载此文章仅为分享知识，如有侵权，请联系博主进行删除。
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