KMP算法之next数组详解

KMP算法实现原理

KMP算法是一种非常高效的字符串匹配算法，下面我们来讲解一下KMP算如何高效的实现字符串匹配。我们假设如下主串和模式串：

int i;//i表示主串的下标
int j;//j表示模式串的下标
char P[]=“ABCABDACFGHEADEW”;//主串
char T[]=“ABCABAEABD”；//模式串

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按照正常逻辑，我们都知道，如果我想在主串中匹配“ABCABAEABD”这个模式串，那么我们首先想到的是将主串和模式串中的每个字符一个个的匹配，如果匹配成功，则主串和模式串的下标都加1；如果匹配失败，则模式串置为0（从头开始匹配），主串回到当前匹配开头的下一个位置，实现代码如下：

while (i<strlen(P) && j<strlen(T))
{ 
	if (P[i] == T[j])//字符匹配上就移动到下一个，继续匹配
	{ 
		i++;
		j++;
	}
	else
	{ 
		i = i - j + 1;
		j = 0;
	}
}
if (j == strlen(T))//说明此时匹配成功
{ 
	return i-j;
}

else
{ 
	return -1;
}

上述字符创匹配方式非常容易理解，其实现原理就是一个字符一个字符进行匹配，这就是BF算法。但是，显然上述字符串匹配方式的效率太低，因为他只要匹配失败就从头开始匹配。然而，在大多数情况下我们都是不需要进行重复匹配的。
举个栗子：主串：ababadergds 模式串：ababdea

我们可以看出在进行第一次匹配时，前面已经有四个字符{a,b,a,b}匹配成功，在进行第五个字符的匹配时，匹配失败。按照BF算法则需要重新回退回去再次进行匹配，但是那种方法效率太低，那么我们能不能利用上次匹配的结果进行优化呢？

答案是肯定的！下面我们就开始介绍著名的KMP算法！！！

介绍KMP算法之前，我们先简单介绍一下KMP算法的思想。首先，KMP算法的思想之一就是只让模式串回退，主串的下标只增不减。思想之二就是模式串回退时会利用子串的最大相同前缀、后缀（后面介绍最大相同前缀、后缀）。

好了，我们接着上一次匹配往下看，通过观察，我们知道第一次匹配时，子串abab是匹配成功的，这说明主串和模式串中都含有字符abab这个子串（稍后会介绍什么是子串）。另外，在子串中我们可以看出abab这个子串的前两个字符和后两个字符都是ab，是相同的。那么我们就可以思考，在将模式串回退时，我们是不是可以将模式串回退到模式串下标为2的这个位置然后再进行匹配？

通过上面图，我们又可以看出，主串中的aba与模式串中的aba又是匹配的，而且在匹配的子串aba中前缀a与后缀a也是相同的。因此，在进行下一次的匹配过程中，我们将模式串移动到模式串下标1对应的位置，而不是从零开始。
从上面图我们看到只有字符a匹配成功，而一个字符不存在最大前缀后缀，因此在下次匹配时，模式串也就是要从头开始匹配了
从上图我们可以看出再次进行匹配时，模式串的长度已经大于主串剩余的可匹配长度，显然此时匹配失败。

上面介绍的就是KMP算法的实现原理，即利用相同最长前缀、后缀来移动模式串。另外，在我们进行移动时，细心的朋友可以发现我们在移动模式串时，总是通过已经匹配成功的子串，然后看子串中的最大相同前缀、后缀来移动模式串。而这个匹配成功的子串本身就是模式串中的子串，并不受主串的影响。因此，我们完全可以只通过模式串来查看子串，最后确定要移动的位数，这个要移动的位数我们把它定义成一个数组，这个数组就称之为next数组。
讲next数组之前，我们补充一下什么是子串
对于字符串：abddfsag
它所拥有的前缀子串为{a,ab,abd,abdd,abddf,abddfs,abddfsa}
它所拥有的后缀子串为{g,ag,sag,fsag,dfsag,ddfsag,bddfsag}
即前缀子串不能包含最后一个字符，后缀子串不能包含第一个字符（和数学里集合中的真子集有点像哈，即一个字符串的子串只能是其真子集）

剖析NEXT数组

最大相同前缀、后缀是相对于子串来讲的，即每一个子串都有一个最大相同前缀。例如，对于字符串：“ababce”,j表示字符串位置的下标。
当j=0时，对应字符a位置，a前面没有字符，故此时不存在前缀，后缀（看前缀、后缀时，j所在的位置不算，只看其前面的字符），此时令next[0]=-1;。
当j=1时，只有字符a，一个字符不存在前缀、后缀，有next[1]=0;。
当j=2时，此时j前面的子串为ab,由于a和b不相等，故最大相同前后缀为零，next[2]=0。
当j=3时，此时j前面的子串为aba,aba的前缀子串{a,ab},后缀子串{a,ba},因此其最大相同前后缀为1,next[3]=1。
当j=4时，此时j前面的子串abab,abab的前缀子串{a,ab,aba},后缀子串{b,ab,bab},故最大相同前后缀为ab,next[4]=2。
当j=5时，此时j前面的子串ababc,ababc的前缀子串{a,ab,aba,abab},后缀子串{c,bc,abc,babc},故最大相同前后缀为0,next[5]=0。

通过最大相同前后缀我们就可以求出next数组。

现在我们可能有个疑问,费劲求出next数组，那么next数组有什么用呢？
next数组非常有用！！！它就是我们实现KMP算法的关键！！！

例如我们要在主串：“abadagegahad”中查找模式串”ababce”,查找步骤如下：
1.
首先两个字符串开始从头开始匹配，匹配成功主串下标i和模式串下标j就加1，从上图我们可以看出前三个字符匹配成功，第四个字符（下标为3）的匹配失败，故需要从新匹配，由于主串不回退，因此重新匹配时只移动模式串。因此我们只需令j=next[j]，即我们刚刚求得那个next数组的值，再次重新匹配即可。
我们发现j=1处匹配失败，故令j=next[j],即此时next[1]=0;故j回溯到0；
匹配失败，故继续后面的匹配,由于此时j=0;如果仍令j=next[j]的话，j=-1;在之后的判断P[I]==T[j]就会出错，因此，当j=0时，直接循环，不赋值。
下面直接将匹配的图示列出
从上图可以看出，最终仍匹配失败。
那么,既然我们知道了KMP算法的实现原理和如何移动模式串，那么我们获得一个next数组的代码该怎么写呢？
下面先把代码附下面：

int *GetNext(char *pStr, int n)
{ 
	int j;
	int k = 0;
	int next[10] = { 0};

	next[0] = -1;
	for (j = 1; j < n-1; j++)//j表示子串的长度
	{ 
		if (pStr[k] == pStr[j])
		{ 
			next[j+1] = k + 1;
			k++;
		}
		else
		{ 
			
			j = j - k ;
			//只要有一次失败匹配失败，则说明当前子串不匹配，需要对子串的长度减一，进行下一次匹配
			k = 0;
			
		}
	}

	return next;
}

上面代码中else语句中的k=0是什么意思呢？
首先我们假设我们在进行当前判断之前，已经有k个最大前后缀，如果T[k]==T[j],则说明这个字符也匹配成功，那么就令next[j+1]=k+1;如果匹配失败，则字符子串的长度减一，然后将k置为零来重新计算next数组，k置为零的目的是为了重新从开头计算next数组，此时j应该为j=j-k+1,由于for循环里有了j++,故else语句里另j=j-k。通过这个循环，便可求得next数组。
不过，让我们再思考一下，else里的k=0还可以继续优化吗？
答案是肯定的！优化后的代码如下：

int *GetNext(char *pStr, int n)
{ 
	int i;
	int j;
	int k = 0;
	int next[10] = { 0};

	next[0] = -1;
	for (j = 1; j < n-1; j++)//j表示子串的长度
	{ 
		if (pStr[k] == pStr[j])
		{ 
			next[j+1] = k + 1;
			k++;
		}
		else
		{ 
			
			j = j - k ;
			//只要有一次失败匹配失败，则说明当前子串不匹配，需要对子串的长度减一，进行下一次匹配
			if (k != 0)
			{ 
				k = next[k];//这是什么意思呢？
			}
			
		}
	}

	return next;
}

上述优化其实只是做了k=next[k];的赋值，然而很多人就卡在这一个赋值上，为什么要这样赋值呢？
答案其实很简单，因为我们要想查找最大前后缀，在每次匹配之后都要重新“从头”开始查找，然而，当我们前面已经匹配成功k个字符时，第k+1个字符匹配失败了，那么我们需要将模式串从头开始重新匹配，但是如果我们细心点我们可以发现，前面k个字符同样包含最大前后缀，因此令k=next[k]实质上就是将模式串回溯到前面k个字符所拥有的最大前后缀的位置上（但是你要是令k=0也不会出错，只是效率稍微降低），如果前面k个字符中最大前后缀为零，另k=next[k]与k=0实际上是一个效果。

好了，这就是KMP算法的实现原理，文中有讲的不清楚或者不对的地方，欢迎大家批评指正！！！
如果有什么问题也欢迎大家在评论区留言！！！