回溯法

回溯法概念

回溯算法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所在解或任一解。回溯法是一个即带有系统性又带有跳跃性的所搜算法。

回溯法思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

回溯法解题步骤

用回溯法解题通常包含以下3个步骤：
1. 针对所给问题，定义问题的解空间
2. 确定易于搜索的解空间结构
3. 以深度优先方式所搜解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

回溯算法一般框架

int solution[MAX_DIMENSION];    //多维度解
void backtrack(int dimension)
{
    /*检验当前维度数组是否是一个解*/
    if ( solution[] is well-generated )
    {
        check and record solution;
        return;
    }

    /* 列举当前维度的所有取值的情况，并且进入到下一维度*/
    for ( x = each value of current dimension )
    {
        solution[dimension] = x;
        backtrack( dimension + 1 );
    }
}

backtrack( [v1,...,vn] )    // [v1,...,vn]是多维度数值
{
    /*检验当前多维度数值是不是一个解*/
    if ( [v1,...,vn] is well-generated )
    {
        if ( [v1,...,vn] is a solution ) process solution;
        return;
    }

    /* 列举当前维度的所有取值的情况，并且进入到下一维度*/
    for ( x = possible values of vn+1 )
        backtrack( [v1,...,vn, x] );
}

使用回溯法解决排列问题

Question: 列出 {0,1,2,3,4} 所有的排列

int solution[5];
bool use[5] = {false};

void backtrack(int n) {
    if (n == 5) {
        //processing solution
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            cout << solution[i] << " ";
        cout << endl;
        return;
    } else
    {
        //列举{0,1,2,3,4}所有可能的值
        for (int i = 0; i < 5; ++i) {
            if (!use[i]) {
                use[i] = true;
                solution[n] = i;
                backtrack(n+1); //进入到下一个维度
                use[i] = false;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    backtrack(0);
    return 0;
}

Question: 列举abb所有不相同的排列
首相我们先来写abc所有的排列算法。而abc的排列算法与上面的问题是一样的，稍微进行修改就可。这里我们将不再使用全局数组solution来保存结果。

void backtrack(const vector<char> &num, vector<bool> use,
                  vector<char> solution)
{
    if (solution.size() == 3) {  //注意本列中abb排列的结果维度为3
        for(const auto e : solution)
            cout << e << " ";
        cout << endl;
        return;
    }else {
        for(int i = 0; i < num.size(); ++i) {
            if (!use[i]) {
                use[i] = true;
                solution.push_back(num[i]);
                backtrack(num, use, solution);
                solution.pop_back();
                use[i] = false;
            }
        }
    }
}

如果直接使用上面的程序进行abb排列，则输出结果为

a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a

会出现这个情况，是因为上面的程序中认为输入的字符数组中没有相同的字符，即使有相同的字符也会当成不同对待。因此才会出现相同的排列的情况。为了避免重复的排列，我们首先对输入的字符进行排序，使得相同的字符连续出现。然后使用一个标记位来标记上一次出现的字符。

void backtrack(const vector<char> &num, vector<bool> use,
                  vector<char> solution)
{
    if (solution.size() == 3) { 
        for(const auto e : solution)
            cout << e << " ";
        cout << endl;
        return;
    }else {
        char prevChar = '\0';
        for(int i = 0; i < num.size(); ++i) {
            if (!use[i] && prevChar != num[i]) {
                prevChar = num[i];
                use[i] = true;
                solution.push_back(num[i]);
                backtrack(num, use, solution);
                solution.pop_back();
                use[i] = false;
            }
        }
    }
}

使用回溯法解决子集合问题

Question : 给定一个没有重复元素的数组nums，求它所有的子集合.
LeetCode Subsets
例如 nums = [1,2,3]的子集合为：
[
[3],
[1],
[2],
[1,2,3],
[1,3],
[2,3],
[1,2],
[]
]

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        vector<vector<int>> solution;
        vector<int> subset;
        backtrack(nums, 0, subset, solution);
        return solution;
    }
private:
    void backtrack(vector<int> &nums, int start, 
        vector<int> &subset, vector<vector<int>> &solution) {

        solution.push_back(subset);
        for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
            subset.push_back(nums[i]);
            backtrack(nums, i+1, subset, solution);
            subset.pop_back();
        }
    }
};

Question : 接着上一个问题，如果输入数组中可能有重复的元素，求所有不相同的子集合
LeetCode Subsets II
与上面求abb所有的排列类似，在有相同元素时，首先对元素进行排序，然后使用标志位来记录上一次的取值。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end()); //首先对数组进行排序
        vector<vector<int>> solution;
        vector<int> subset;
        backtrack(nums, 0, subset, solution);
        return solution;
    }
private:
    void backtrack(vector<int> &nums, int start, vector<int> &subset, vector<vector<int>> &solution) {
        solution.push_back(subset);
        int prevNum = INT_MAX;
        for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
            if (nums[i] != prevNum) {
                prevNum = nums[i];
                subset.push_back(nums[i]);
                backtrack(nums, i+1, subset, solution);
                subset.pop_back();
            }
        }
    }
};

reference

计算机算法设计与分析(第三版) 王晓东 编著
回溯法笔记
五大常用算法之四：回溯法