转载：回溯法详解

2023年5月3日 713次阅读来源: 回溯法

原文地址：https://blog.csdn.net/sinat_27908213/article/details/80599460

回溯法是很重要的一种算法，在it企业笔试中经常会遇到。事实上，在各种编程题中，大家或多或少都会接触到这些题目，但是很多人没有对这类题目有个系统性的总结。接下来就对回溯法进行详尽，通俗易懂的分析。

回溯法有通用解法的美称，对于很多问题，如迷宫等都有很好的效果。回溯算法实际上一个类似枚举的深度优先搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回（也就是递归返回），尝试别的路径。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。回溯法说白了就是穷举法。回溯法一般用递归来解决。

回溯法一般都用在要给出多个可以实现最终条件的解的最终形式。回溯法要求对解要添加一些约束条件。总的来说，如果要解决一个回溯法的问题，通常要确定三个元素：

1、选择。对于每个特定的解，肯定是由一步步构建而来的，而每一步怎么构建，肯定都是有限个选择，要怎么选择，这个要知道；同时，在编程时候要定下，优先或合法的每一步选择的顺序，一般是通过多个if或者for循环来排列。

2、条件。对于每个特定的解的某一步，他必然要符合某个解要求符合的条件，如果不符合条件，就要回溯，其实回溯也就是递归调用的返回。

3、结束。当到达一个特定结束条件时候，就认为这个一步步构建的解是符合要求的解了。把解存下来或者打印出来。对于这一步来说，有时候也可以另外写一个issolution函数来进行判断。注意，当到达第三步后，有时候还需要构建一个数据结构，把符合要求的解存起来，便于当得到所有解后，把解空间输出来。这个数据结构必须是全局的，作为参数之一传递给递归函数。

对于回溯法来说，每次递归调用，很重要的一点是把每次递归的不同信息传递给递归调用的函数。而这里最重要的要传递给递归调用函数的信息，就是把上一步做过的某些事情的这个选择排除，避免重复和无限递归。另外还有一个信息必须传递给递归函数，就是进行了每一步选择后，暂时还没构成完整的解，这个时候前面所有选择的汇总也要传递进去。而且一般情况下，都是能从传递给递归函数的参数处，得到结束条件的。

递归函数的参数的选择，要遵循四个原则：

1、必须要有一个临时变量(可以就直接传递一个字面量或者常量进去)传递不完整的解，因为每一步选择后，暂时还没构成完整的解，这个时候这个选择的不完整解，也要想办法传递给递归函数。也就是，把每次递归的不同情况传递给递归调用的函数。

2、可以有一个全局变量，用来存储完整的每个解，一般是个集合容器（也不一定要有这样一个变量，因为每次符合结束条件，不完整解就是完整解了，直接打印即可）。

3、最重要的一点，一定要在参数设计中，可以得到结束条件。一个选择是可以传递一个量n，也许是数组的长度，也许是数量，等等。

4、要保证递归函数返回后，状态可以恢复到递归前，以此达到真正回溯。

结合几个例题来分析。

一、给出n对括号，求括号排列的所有可能性。

这是一个很经典的回溯法问题，代码如下，结合代码，对上面总结出的特点进行分析。


  
 
   
        public class BackTracking {  
   
        public static void main(String[] args) {  
   
        int n= 3;  
   
        int leftnum=n,rightnum=n; //左括号和右括号都各有n个  
   
        ArrayList<String> results= new ArrayList<String>(); //用于存放解空间  
   
        parentheses( "", results, leftnum, rightnum);  
   
        for(String s:results)  
   
        System.out.println(s);  
   
        }  
   
        public static void parentheses(String sublist, ArrayList<String> results, int leftnum, int rightnum){  
   
        if(leftnum== 0&&rightnum== 0) //结束  
   
        results.add(sublist);  
   
        if(rightnum>leftnum) //选择和条件。对于不同的if顺序，输出的结果顺序是不一样的，但是构成一样的解空间  
   
        parentheses(sublist+ ")", results, leftnum, rightnum- 1);  
   
        if(leftnum> 0)  
   
        parentheses(sublist+ "(", results, leftnum- 1, rightnum);  
   
        }  
   
        }

输出如下：

()()()
()(())
(())()
(()())

((()))

对于回溯法来说，必须齐备的三要素：

1、选择。在这个例子中，解就是一个合法的括号组合形式，而选择无非是放入左括号，还是放入右括号；

2、条件。在这个例子中，选择是放入左括号，还是放入右括号，是有条件约束的，不是随便放的。而这个约束就是括号的数量。只有剩下的右括号比左括号多，才能放右括号。只有左括号数量大于0才能放入左括号。这里if的顺序会影响输出的顺序，但是不影响最终解；

3、结束。这里的结束条件很显然就是，左右括号都放完了。

回溯法中，参数的设计是一大难点，也是很重要的地方。而递归参数的设计要注意的四个点：

1、用了一个空字符串来作为临时变量存储不完整解；

2、用了一个ArrayList<String> results来存放符合要求的解。在后面可以看到，不一定要这样做，也可以直接打印结果；

3、把leftnum和rightnum传入给递归函数，这样可以用于判断结束条件；

4、这个例子不明显。但是事实上也符合这个条件。可以仔细观察代码，可以发现由于使用了两个if，所以当一次递归退出后，例如从第一个if退出，第二个递归直接递归的是leftnum-1和rightnum，这其实是已经恢复状态了（如果没有恢复状态，那就是leftnum, rightnum-1）。因此不需要人为让他恢复状态。但是恢复状态这点是很重要的，因为回溯法，顾名思义要回溯，不恢复状态，怎么回溯呢。


  
 
   
        if(rightnum>leftnum) //选择和条件。对于不同的if顺序，输出的结果顺序是不一样的，但是构成一样的解空间  
   
        parentheses(sublist+ ")", results, leftnum, rightnum- 1);  
   
        if(leftnum> 0)  
   
        parentheses(sublist+ "(", results, leftnum- 1, rightnum);

从后面的例子可以看出，对于一些题，是必须要恢复递归前状态的。

二、给出一个不重复大于0数字的数组和一个目标，求数组中数的组合的和得到该目标（数字不同组合顺序当做一个解）。


  
 
   
        public class BackTracking {  
   
        public static void main(String[] args){  
   
        int[] num= new int[]{ 2, 3, 7, 6};  
   
        int target= 9;  
   
        find(num, target, "");  
   
        }  
   
        public static void find(int[] num, int target, String temp){  
   
        if(issolution(temp,target)){  
   
        System.out.println(temp);  
   
        return;  
   
        }  
   
        for( int i= 0;i<num.length;i++){  
   
        if(num[i]!=- 1){ //如果取过这个数字了，就置为-1  
   
        int k=num[i];  
   
        num[i]=- 1;  
   
        find(num, target, temp+k);  
   
        num[i]=k;  
   
        }  
   
        }  
   
        }  
   
        public static boolean issolution(String temp, int target){  
   
        boolean result= false;  
   
        int count= 0;  
   
        for( int i= 0;i<temp.length();i++){  
   
        count=count+Integer.valueOf(temp.charAt(i)+ "");  
   
        }  
   
        if(count==target)  
   
        result= true;  
   
        return result;  
   
        }  
   
        }

这题不同的是，它在递归后，必须把数组恢复。这也是参数的特征的第四点所说的内容。

三、给一个字符串，给出他的所有排列


  
 
   
        public class BackTracking {  
   
        public static void main(String[] args){  
   
        String s= "abc";  
   
        pailie(s, "");  
   
        }  
   
        public static void pailie(String s, String temp){ //参数设计地尽量地简洁  
   
        if(s.length()== 0){  
   
        System.out.println(temp);  
   
        return;  
   
        }  
   
        for( int i= 0;i<s.length();i++){  
   
        String news=s.substring( 0, i)+s.substring(i+ 1,s.length()); //去掉String中的某个字母  
   
        pailie(news, temp+s.charAt(i));  
   
        }  
   
        }  
   
        }