梯度下降(Gradient Descent)是用于寻找函数最小值的一种优化算法。我们常常利用梯度下降法来使损失函数Loss function的值尽可能小，即让神经网络的预测值（实际输出）和标签值（预期的输出）尽可能接近。在这个过程中，网络参数——各层的权值与偏重将得到调整，这也正是神经网络的训练原理。可见熟悉梯度下降的原理对于理解神经网络相当重要。
本文将从损失函数概念、梯度下降原理 & 为什么沿梯度负方向函数值下降最快、梯度更新公式三个方面展开。
一、什么是损失函数(Loss function)？
损失函数通常为多元函数，其自变量包括网络中包含的所有的权重w、以及所有的偏置b，有的地方也将其称作代价函数(Cost function)，这里只介绍均方误差损失函数(MSE)：
L o s s F u n c t i o n = ∑ j = 1 m ∥ y ⃗ j p r e d i c t − y ⃗ j l a b e l ∥ 2 2 m LossFunction = \sum_{j=1}^{m} \frac{\Vert \vec y_{j_{predict}}- \vec y_{j_{label}} \Vert ^2}{2m} LossFunction=j=1∑m2m∥y jpredict−y jlabel∥2
- 分子是预测向量（实际输出）与标签向量（期望输出）之差的二范数的平方，即两个向量中对应元素之差的平方和，是一个标量；
- j 次求和再除以m，代表对 j 个输入向量得到的 j 个二范数平方项求均值；
- 分母上的2主要是为了在对二范数的平方项求导时，消去系数，简化形式。
损失函数的值减小，意味着神经网络的预测值（实际输出）和标签值（预期的输出）越接近。
二、梯度下降求解损失函数最小值
2.1 什么是梯度？
多元函数的梯度类似于一元函数导数：对多元函数各变量依次求一阶偏导，然后将各偏导值组合成一个一维列向量，就得到了该多元函数梯度。损失函数通常为多元函数，其梯度如下：
∇ L ( w 11 2 , w 12 2 , ⋯ , w k j l , b 1 2 , b 2 2 , ⋯ , b k l ) \nabla L(w^2_ {11},w^2_ {12},\cdots,w^l_ {kj},b^2_ {1},b^2_ {2},\cdots,b^l_ {k}) ∇L(w112,w122,⋯,wkjl,b12,b22,⋯,bkl)
= ( ∂ L ∂ w 11 2 , ∂ L ∂ w 12 2 , ⋯ , ∂ L ∂ w k j l , ∂ L ∂ b 1 2 , ∂ L ∂ b 2 2 , ⋯ , ∂ L ∂ b k l ) T = (\frac{\partial L}{\partial w^2_ {11}},\frac{\partial L}{\partial w^2_ {12}},\cdots,\frac{\partial L}{\partial w^l_ {kj}},\frac{\partial L}{\partial b^2_ {1}},\frac{\partial L}{\partial b^2_ {2}},\cdots,\frac{\partial L}{\partial b^l_ {k}})^T =(∂w112∂L,∂w122∂L,⋯,∂wkjl∂L,∂b12∂L,∂b22∂L,⋯,∂bkl∂L)T
对于神经网络结构 & 符号约定有疑惑的可以参考我的这篇文章——【深度学习原理】神经网络结构 & 符号约定
2.2 为什么损失函数的函数值，沿梯度的负方向下降最快？
梯度的负方向：因为梯度是一个向量，具有方向性。这里的下降是指损失函数值的减小。
那么为什么沿梯度的负方向损失函数值减小最快呢？这里主要利用多元函数的一阶泰勒展开（一阶形式还是比较简单的）和向量点积公式来证明：
三、权重 & 偏置的梯度更新公式
这里只给出了第 l l l层的网络参数——权重(矩阵)与偏置(向量)的梯度下降更新公式，其他层梯度更新公式同理可得，对符号有疑惑的请参考：【深度学习原理】神经网络结构 & 符号约定。
后记、如何求解梯度更新公式中的梯度？
有了梯度更新公式，其中损失函数对各参数的梯度又该如何求解呢？事实上由于神经网络中参数(权重W和偏置b)通常较多，要想直接求解损失函数对这些参数的梯度，难度极大，所以在实际训练网络时，我们通常采用反向误差传播，即BP算法，巧妙地利用预测值与标签值的残差，从输出层到输入层反向地求解出损失函数对各层网络参数的梯度。
为避免文章过于冗长，本文跳过了神经网络基本结构，损失函数、激活函数的具体形式及其优劣，梯度下降的变种算法，以及优化梯度求解的BP反向误差传播算法等问题，相关内容我会在后续的学习中逐步更新，欢迎关注~
