约瑟夫问题

2024年5月11日 189次阅读

此处还有一个不错的JAVA版本 http://wayfoon.javaeye.com/blog/432527

 

 

约瑟夫问题的来历

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

 

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

 

*问题分析与算法设计

 

约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。

 

题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

 


约瑟夫问题的一般形式：

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。最后剩下1号。

 

假定在圈子里前K个为好人，后K个为坏人，你的任务是确定这样的最少M，使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉。

 

C++代码示例:

 

#include<iostream>

 

using namespace std;

 

void main()

 

{

 

int n,m,a[101],k,i,j,num; //计数器是从1开始的,所以100个人用101

 

cout<<“请输入参加游戏的玩家人数(不超过100人):”;

 

cin>>n;

 

cout<<“—————————————-“<<endl;

 

if(n>100)

 

{

 

cout<<“玩家太多,请重新登陆此程序!”<<endl;

 

return;

 

}

 

cout<<“输入游戏中要玩的数字:”;

 

cin>>m;

 

cout<<“—————————————-“<<endl;

 

for(i=1;i<=n;i++)

 

{

 

a【i】=1;//注意百度百科里不让使用ASCII里的方括号，这里是中文字符集里的方括号，

 

}

 
j=0;   k=0;   for(i=1;i<=n;i++){   if(a【i】==1){   j=j+a【i】;   if(j==m)   {   j=0;   a【i】=0;   k++;   }   if(k==n){   num=i;   break;   }   }   if(i==n)   i=0;   }   cout<<“最后获胜的玩家是第 “<<num<<” 号玩家!”<<endl;   cout<<“—————————————-“<<endl;   }  

 

 

写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法 很巧妙很简单 不过只能推出最后一个出列的人

 

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

 

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

 

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

 

我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）:

 

k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2

 

并且从k开始报0。

 

现在我们把他们的编号做一下转换：

 

k –> 0

 

k+1 –> 1

 

k+2 –> 2

 

…

 

…

 

k-2 –> n-2

 

k-1 –> n-1

 

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k) mod n

 

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

 

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

 

递推公式

 

f[1]=0;

 

f=(f+m) mod i; (i>1)

 

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

 

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

 

c++

 

#include <stdio.h>

 

int main()

 

{

 

int n, m, i, s=0;

 

printf (“N M = “); scanf(“%d%d”, &n, &m);

 

for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;

 

printf (“The winner is %d\n”, s+1);

 

}

 

pascal

 

var n,m,i,s:integer;

 

begin

 

write(‘N M =’);

 

read(n,m);

 

for i:=2 to n do

 

s:=(s+m) mod i;

 

writeln(‘The winner is ‘,s+1);

 

end.

 

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

 

约瑟夫问题10e100版(from vijios)

 

描述 Description

 

n个人排成一圈。从某个人开始，按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数，报到2的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。

 

输入格式 Input Format

 

一个正整数n，表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。

 

输出格式 Output Format

 

一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。

 

样例输入 Sample Input

 

9

 

样例输出 Sample Output

 

3

 

时间限制 Time Limitation

 

各个测试点1s

 

注释 Hint

 

样例说明

 

当n=9时，退出圈子的人的编号依次为：

 

2 4 6 8 1 5 9 7

 

最后剩下的人编号为3

 

初见这道题，可能会想到模拟。可是数据实在太大啦！！

 

我们先拿手来算，可知n分别为1，2，3，4，5，6，7，8…时的结果是1，1，3，1，3，5，7，1…

 

有如下规律：从1到下一个1为一组，每一组中都是从1开始递增的奇数，且每组元素的个数分别为1，2，4…

 

这样就好弄了！！

 

大体思路如下：

 

①read(a)

 

②b:=1,c:=1{b为某一组的元素个数，c为现在所加到的数}

 

③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c){超过目标时停止加数}

 

⑥c:=c-b{退到前一组}

 

⑦x:=a-c{算出目标为所在组的第几个元素}

 

⑧ans:=x*2-1{求出该元素}

 

⑨write(ans)

 

有了思路，再加上高精度就可以了。我写的代码比较猥琐，因为是先把上面的思路敲进去，再写过程，又把一些简单的过程合到主程序中了，所以有点乱，也有点猥琐。起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~

 

var a,b,c:array[1..105]of integer;

 

la,lb,lc,i:integer;

 

s:string;

 

procedure incc;

 

var i:integer;

 

begin

 

for i:=1 to 105 do c:=c+b;

 

for i:=1 to 104 do if c>9 then

 

begin

 

c:=c+c div 10;

 

c:=c mod 10;

 

end;

 

end;

 

function cxiaoa:boolean;

 

var i:integer;

 

begin

 

cxiaoa:=false;

 

for i:=105 downto 1 do

 

if c<a then begin cxiaoa:=true;break;end

 

else if c>a then break;

 

end;

 

procedure doubleb;

 

var i:integer;

 

begin

 

for i:=1 to 105 do b:=b*2;

 

for i:=1 to 104 do if b>9 then

 

begin

 

b:=b+b div 10;

 

b:=b mod 10;

 

end;

 

end;

 

procedure decc;

 

var i,j:integer;

 

begin

 

for i:=1 to 104 do

 

if c>=b then c:=c-b else

 

begin

 

j:=i+1;

 

while c[j]=0 do inc(j);

 

while j>i do

 

begin

 

c[j]:=c[j]-1;

 

c[j-1]:=c[j-1]+10;

 

dec(j);

 

end;

 

c:=c-b;

 

end;

 

end;

 

procedure fua;

 

var i:integer;

 

begin

 

for i:=1 to 104 do

 

if a>c then a:=a-c else

 

begin

 

a:=a-1;

 

a:=a+10;

 

a:=a-c;

 

end;

 

end;

 

procedure outit;

 

var i,j:integer;

 

begin

 

for i:=1 to 105 do a:=a*2;

 

for i:=1 to 104 do if a>9 then

 

begin

 

a:=a+a div 10;

 

a:=a mod 10;

 

end;

 

if a[1]>0 then a[1]:=a[1]-1 else

 

begin

 

j:=2;

 

while a[j]=0 do inc(j);

 

while j>1 do

 

begin

 

a[j]:=a[j]-1;

 

a[j-1]:=a[j-1]+10;

 

dec(j);

 

end;

 

a[1]:=a[1]-1;

 

end;

 

for i:=105 downto 1 do if a>0 then begin j:=i;break;end;

 

for i:=j downto 1 do write(a);

 

end;

 

begin

 

readln(s);

 

la:=length(s);

 

for i:=la downto 1 do a:=ord(s[la+1-i])-ord(‘0’);

 

b[1]:=1;

 

c[1]:=1;

 

while cxiaoa do

 

begin

 

doubleb;

 

incc;

 

end;

 

decc;

 

fua;

 

outit;

 

end.

 


约瑟夫问题的另外一个有名的例子：

 


猴子选大王

一． 问题描述：

 

一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 …m ,这羣猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。

 

二． 基本要求：

 

(1) 输入数据：输入m,n m,n 为整数，n<m

 

（2）中文提示按照m个猴子，数n 个数的方法，输出为大王的猴子是几号 ，建立一个函数来实现此功能

 

C程序：

 

#include <stdio.h>

 

#include<malloc.h>

 

#define LEN sizeof(struct monkey) //定义struct monkey 这个类型的长度

 

struct monkey

 

{

 

int num;

 

struct monkey *next;

 

};

 

struct monkey *create(int m)

 

{

 

struct monkey *head,*p1,*p2;

 

int i;

 

p1=p2=(struct monkey*)malloc(LEN);

 

head=p1;

 

head->num=1;

 

for(i=1,p1->num=1;i<m;i++)

 

{

 

p1=(struct monkey*)malloc(LEN);

 

p1->num=i+1;

 

p2->next=p1;

 

p2=p1;

 

}

 

p2->next=head;

 

return head;

 

}

 

struct monkey *findout(struct monkey *start,int n)

 

{

 

int i;

 

struct monkey *p;

 

i=n;

 

p=start;

 

for(i=1;i<n-1;i++)

 

p=p->next;

 

return p;

 

}

 

struct monkey *letout(struct monkey *last)

 

{

 

struct monkey *out,*next;

 

out=last->next;

 

last->next=out->next;

 

next=out->next;

 

free(out);

 

return next;

 

}

 

int main()

 

{

 

int m,n,i,king;

 

struct monkey *p1,*p2;

 

printf(“请输入猴子的个数m:\n”);

 

scanf(“%d”,&m);

 

printf(“每次数猴子的个数n :\n”);

 

scanf(“%d”,&n);

 

if(n==1)

 

{

 

king=m;

 

}

 

else

 

{

 

p1=p2=create(m);

 

for(i=1;i<m;i++)

 

{

 

p2=findout(p1,n);

 

p1=p2;

 

p2=letout(p1);

 

p1=p2;

 

}

 

king=p2->num;

 

free(p2);

 

}

 

printf(“猴王的编号是：%d\n”,king);

 

return 0;

 

}

 

pascal程序：

 

var

 

a:array[1..10000] of integer;

 

n,s,i,j:integer;

 

begin

 

read(m,n);

 

for i:=1 to m do a[i]:=1;

 

j:=0;

 

for i:=1 to m do

 

begin

 

s:=0;

 

while s<n do

 

begin

 

if j<m then inc(j)

 

else j:=1;

 

s:=s+a[j];

 

end;

 

write(j);

 

a[j]:=0;

 

end;

 

end.

 

#include <stdio.h>

 

int main()

 

{

 

int n, m, i, s=0;

 

printf (“N M = “); scanf(“%d%d”, &n, &m);

 

for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;

 

printf (“The winner is %d\n”, s+1);

 

return 0;

 

}

 

约瑟夫数学算法

 

#include <stdio.h>

 

#include <conio.h>

 

int main( void )

 

{

 

int n, i = 0, m, p;

 

scanf(“%d%d”, &n, &m); //n总人数，m步长

 

while( ++i <= n )

 

{

 

p = i * m;

 

while (p > n)

 

p = p – n + (p – n – 1)/(m – 1);

 

printf(“%d\n”, p);

 

}

 

getch();

 

return 0;

 

}

 

约瑟夫递推算法

 

#include<iostream>

 

using namespace std;

 

int king(int M, int N)

 

{

 

int k = 0;

 

for (int i = 2; i <= M; i++)

 

k = (k + N) % i;

 

return ++k; }i

 

nt main()

 

{

 

int n,m;

 

while(scanf(“%d%d”,&n,&m)&&n&&m)

 

{

 

cout<<king(n,m)<<endl;

 

}

 

return 0;

 

}

 


笔算解决约瑟夫问题

在M比较小的时候 ，可以用笔算的方法求解，

 

M=2

 

即N个人围成一圈，1，2，1，2的报数，报到2就去死，直到只剩下一个人为止。

 

当N=2^k的时候，第一个报数的人就是最后一个死的，

 

对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t,其中t<n/2

 

于是当有t个人去死的时候，就只剩下2^k个人 ，这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1

 

于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解：

 

求出不大于N的最大的2的整数次幂，记为2^k，最后一个去死的人是2(N-2^k)+1

 

M=3

 

即N个人围成一圈，1，2，3，1，2，3的报数，报到3就去死，直到只剩下一个人为止。

 

此时要比M=2时要复杂的多

 

我们以N=2009为例计算

 

N=2009，M=3时最后被杀死的人记为F(2009,3),或者可以简单的记为F(2009)

 

假设现在还剩下n个人，则下一轮将杀死[n/3]个人，[]表示取整，还剩下n-[n/3]个人

 

设这n个人为a1,a2,…,a(n-1),an

 

从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,…a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an

 

于是可得：

 

1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3),下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1)

 

2、若3|n,则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])个人

 

若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人

 

若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人

 

3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1个人

 

综合1，2，3可得：

 

F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4，F(6)=1，

 

当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1

 

当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1

 

这种算法需要计算 [log(3/2)2009]次 这个数不大于22，可以用笔算了

 

于是：

 

第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，

 

第二圈，杀死446人，还剩下894人

 

第三圈，杀死298人，还剩下596人

 

第四圈，杀死198人，还剩下398人

 

第五圈，杀死132人，还剩下266人

 

第六圈，杀死88人，还剩下178人

 

第七圈，杀死59人，还剩下119人

 

第八圈，杀死39人，还剩下80人

 

第九圈，杀死26人，还剩下54人

 

第十圈，杀死18人，还剩36人

 

十一圈，杀死12人，还剩24人

 

十二圈，杀死8人，还剩16人

 

十三圈，杀死5人，还剩11人

 

十四圈，杀死3人，还剩8人

 

十五圈，杀死2人，还剩6人

 

F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4，F(6)=1，

 

然后逆推回去

 

F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130

 

F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009)=634

 

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