基本题一：最长公共子序列问题
一、实验目的与要求
1、熟悉最长公共子序列问题的算法；
2、初步掌握动态规划算法；
二、实验题
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
三、实验提示
include "stdlib.h"
#include "string.h"
void LCSLength(char *x ,char *y,intm,int n, int **c, int **b)
{
inti ,j;
for (i = 1; i<= m; i++) c[i][0] = 0;
for (i = 1; i<= n; i++) c[0][i] = 0;
for (i = 1; i<= m; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
{
if (x[i]==y[j])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
}
else
{ c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
}
}
void LCS(inti ,int j, char *x ,int **b)
{
if (i ==0 || j==0) return;
if (b[i][j]== 1)
{
LCS(i-1,j-1,x,b);
printf("%c",x[i]);
}
else if (b[i][j]== 2)
LCS(i-1,j,x,b);
else LCS(i,j-1,x,b);
}四、题目分析
在求最长公共子序列中，我们可以看出如下规律：
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(即：Z是X序列中前m个元素所组成的序列与Y序列的最长公共子序列)
(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。(即：Z是Y序列中前n个元素所组成的序列与X序列的最长公共子序列)
由上面三个条件可得如下公式：
C[][]用来记录最长公共子序列的长度，则：
c[i][j] = <1> 0; (当i、j = 0时)；
<2> c[i-1][j-1] + 1; (当i、j > 0 且 Xi = Yj时)(即第i个X序列元素与第j个Y元素相等)
<3> max(c[i][j-1] , c[i-1][j]) (当i、j > 0 且 Xi != Yj时)（当Xi与Yj不等时，取两个式子的最大值，若两者相等则默认取第一个）
五，源代码
importjava.util.*;
import java.io.*;
public class LCS
{
public static void main(String[] args) {
String s1 = "ABCBDAB";
String s2 = "BDCABA";
LCS cms = new LCS();
String[] x = cms.init(s1);
String[] y = cms.init(s2);
int[][] b = new int[x.length][y.length];
System.out.println("最大子序列的长度为："+lcsLength(x, y, b));
System.out.println("最大子序列为：");
lcs(x.length-1, y.length-1, x, b);
}
public static void lcs(inti, int j, String[] x, int[][] b) {
if (i == 0 || j == 0)
return;
if (b[i][j] == 1) {
lcs(i - 1, j - 1, x, b);
System.out.print(x[i]+" ");
} else if (b[i][j] == 2)
lcs(i - 1, j, x, b);
else
lcs(i, j - 1, x, b);
}
private String[] init(String str){
String temp = str;
String[] s = temp.split("");
return s;
}
public static intlcsLength(String[] x, String[] y, int[][] b) {
int m = x.length - 1;
int n = y.length - 1;
int[][] c = new int[m + 1][n + 1];
for (inti = 1; i<= m; i++){
c[i][0] = 0;
}
for (inti = 1; i<= n; i++)
c[0][i] = 0;
for (inti = 1; i<= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (x[i].equals(y[j])) {
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
b[i][j] = 1;
} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = 2;
} else {
c[i][j] = c[i][j - 1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
return c[m][n];
}
}
结果：
