二分查找（Binary Search）

2024年5月17日 291次阅读

一、顺序查找（linear search）
问题描述：在一个给定的序列A[]中查找指定元素v，若查找成功则返回元素在数组中的下标，否则返回-1。

C++实现：

//简单线性查找 
int linearSearch(int *a, int n, int key)
{
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(a[i] == key)
        {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

(1)最好情况下，比较一次就查找成功

(2)最坏情况下，比较n次查找成功或查找失败

(3)假设数组中的n个元素以等可能的概率被查找，且待查找的数在数组中，则平均查找长度为: (n+1)/2

(4)综上，线性查找的时间复杂度为：Ο(n)

二、二分查找（binary search）

思想：当待查找序列是有序序列时， 不用像线性查找那样一个接一个的比较，我们可以把序列中点和检索值v进行比较，快速缩小比较范围，从而节省时间。

1.迭代实现

//binary search iterative implementation 
int binarySearch(int *a, int n, int key)
{
    int low = 0;
    int high = n-1;
    int mid ;
    
    while(low <= high)
    {
        mid = (low + high)/2;
        if(a[mid] == key)
            return mid;
        else if(a[mid] < key)
            low = mid + 1;
        else high = mid - 1;
    }
    return -1;
}

2.递归实现

//binary search recursive implementation
int binarySearch(int *a, int low, int high, int key)
{
    if(low <= high)
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if(a[mid] == key)
            return mid;
        else if(a[mid] < key)
            return binarySearch(a,mid+1,high,key);
        else
            return binarySearch(a,low,mid-1,key);
    }
    return -1;
}

算法时间复杂度分析：

(1)根据迭代算法我们可以画出查找过程的判定树，判定树的高度为lgn，也就是最多比较lgn次，因而算法的时间复杂度为Ο(lgn)

(2)由于问题的输入规模不断减半，所以递归最多lgn层，每次递归代价为常数，算法复杂度为Ο(lgn )

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补充问题：

集合S由n个整数构成，给定一个整数x，判断集合中是否存在两个数，其和为x，存在返回true，否则返回false。要求算法的时间复杂度为O(nlgn)

分析：

（1）把n个元素按非递减排序 复杂度可以达到O(nlgn),如归并排序，堆排序

（2）从第一个元素开始运用二分查找，对于元素 a[i] 检索是否存在元素x-a[i]

核心代码：

bool exist(int* a, int n)
{
    mergeSort(a,n);
    for(int i=0; i<n-1; i++)
    { 
        if(binarySearch(a,0,n-1,x-a[i]) != -1) 
        { 
            return true;  
        }
    } 
    return false;
}

由于外层循环n次，循环体内的二分查找复杂度为O（lgn），该核心代码的复杂度为O（nlgn）

综上，算法总的复杂度为O（nlgn）

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