二进制中正负数表示和判断

二进制中第一位0代表正;1代表负我知道,但是给你一个二进制的数比如101 那么转化成十进制应该是多少? 5?  但不是说首位为1应该是负的吗??? 

谁能给我讲讲这个首位什么时候作为符号,什么时候作为数字去计算?什么时候可以直接计算,什么时候需要取反?我怎么知道它是正数还是负数?  


如果你有这种疑问,那就是没有高清概念有问题,我们只有在说计算机处理数时,会用0和1代表正负,这种数称之为机器数(包括原码,反码,补码);  


一:表示法: 
1、正数5的表示法 

假设有一个 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为: 

00000000  00000000  00000000  00000101 

5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。  


2、负数-5的表示法 

现在想知道,-5在计算机中如何表示?在计算机中,负数以原码的补码形式表达。  



二、概念: 
1、原码:一个正数,按照绝对值大小转换成的二进制数;一个负数按照绝对值大小转换成的二进制数,然后最高位补1,称为原码。 

比如 00000000  00000000  00000000  00000101 是 5的 原码。     

 10000000  00000000  00000000  00000101 是 -5的 原码。  

备注: 比如byte类型,用2^8来表示无符号整数的话,是0 – 255了;如果有符号,最高位表示符号位,0为正,1为负,那么,正常的理解就是 -127 至 +127 了.这就是原码了,值得一提的是,原码的弱点,有2个0,即+0和-0(10000000和00000000);还有就是,进行异号相加或同号相减时,比较笨蛋,先要判断2个数的绝对值大小,然后进行加减操作,最后运算结果的符号还要与大的符号相同;于是,反码产生了。  


2、反码:正数的反码与原码相同,负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反[每一位取反(除符号位)]。 
取反操作指:原为1,得0;原为0,得1。(1变0; 0变1)  
比如:      正数00000000  00000000  00000000  00000101   

其反码还是 00000000  00000000  00000000  00000101              


负数10000000  00000000  00000000  00000101   

其反码则是 11111111  11111111  11111111  11111010。  


反码是相互的,所以也可称:10000000 00000000 00000000 00000101  
和 11111111 11111111 11111111 11111010互为反码。 
备注:还是有+0和-0,没过多久,反码就成为了过滤产物,也就是,后来补码出现了。  

3、补码:正数的补码与原码相同,负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反,然后在最后一位加1. 
比如:         10000000  00000000  00000000  00000101  
的反码是:11111111  11111111  11111111  11111010。 那么,补码为:11111111  11111111  11111111  11111010 + 1  
等于 11111111  11111111  11111111  11111011 
 
备注:1、从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的 ,也可以通过完全逆运算来做,先减1,再取反。 
        2、补码却规定0没有正负之分  
所以,-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。 
转换为十六进制:0xFFFFFFFB。 
 
三、再举一例 

我们来看整数-1在计算机中如何表示。假设这也是一个int类型,那么: 

1、先取-1的原码:10000000  00000000  00000000  00000001 

2、得反码:      11111111  11111111  11111111  11111110(除符号位按位取反) 

3、得补码:      11111111  11111111  11111111  11111111  

可见,-1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF  


四、主要知识点:  
正数的反码和补码都与原码相同。 
负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反。 
负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反,然后在最后一位加1  

源码:优点在于换算简单 缺点在于两个零 加减法需要独立运算 

反码:优点在于表示清晰 缺点在于两个零 加减法同样需要独立运算 

补码:优点在于一个零 范围大  减法可以转为加法 缺点在于理解困难  


下面是书上原文:  
原码表示法规定:用符号位和数值表示带符号数,正数的符号位用“0”表示,负数的符号位用“1”表示,数值部分用二进制形式表示。 反码表示法规定:正数的反码与原码相同,负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反。 补码表示法规定:正数的补码与原码相同,负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反,然后在最后一位加1. 

正零和负零的补码相同,[+0]补=[-0]补=0000 0000B


五、特殊情况-128 
1000 0000,那么,它的原码是什么呢?从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的。先保留符号位其它求反:  1111 1111, 再加1,11000 0000, 超过了8位了。对,用8位数的原码在这里已经无法表示了。  
那么,回到原码处, 它的原码也是 1000 0000(超出的自动丢失),1000 0000 在原码表示什么呢? -0, 但补码却规定0没有正负之分。 


转换一下思路,看看计算机里,是怎么运算的: 

对于负数,先取绝对值,然后求反,加一 

-128 -> 128 -> 1000 0000 -> 0111 1111 -> 1000 0000 
现在明确了吧 
所以, 8位有符号的整数取值范围的补码表示 1000 0000 到 0000 0000, 再到 0111 1111 即 -128 到 0, 再到 127 最终 -128 ~ +127  


永远记住:程序里的加减法对 二进制是永远有效的。但是并不一定适合于真实世界。  
byte m = -128; byte q = 1; 
byte p = (byte)(m – q); //这一步其实编译器会报错,其实是发现越界了,我们强行转化为byte就可以看出结果。 
System.out.println( p); p的结果为:127

点赞