本文将给大家介绍一下如何利用矩阵分解来做推荐系统算法。矩阵分解是指把一个矩阵分解成若干个矩阵的某种运算的合成，一般见得比较多的是相乘，本文给大家的介绍的也是相乘。一个比较著名的矩阵分解算法是SVD，SVD是将已有的评分矩阵分解为3个矩阵，有了这3个矩阵，就可以预测用户对某个未评分item的分值，一般将原始的评分矩阵分解成这3个矩阵之后，会做一定的降维处理，之后再做预测。利用SVD做推荐已经取得了良的效果，但是由于进行SVD计算时，不能有缺失值，如果要用SVD，则必须先填补缺失值，如果全填为0，则表示用户打了0分，显然不合理，填为其它值如随机值等也不合适。
那么有没有一种方法能只考虑评过分的item而不考虑缺失评分的item？有，这里给大家介绍一种用类似SVD的方法将矩阵分解为两个矩阵相乘，并且只考虑有评论的项，训练时可以不考虑缺失项。
首先将 user 对 item 的评分表示为矩阵，如原始的评分矩阵：
将该矩阵分解为两个矩阵相乘：
其中左边矩阵的非空元素为
，实际上是将
分解成了
，其中
为矩阵Q的第i行，
为矩阵
的第u列。
当分解成了Q和P两个矩阵后，空白处的值就可以通过Q矩阵的某列和P矩阵的某列相乘，得到缺失处的值。这背后的核心思想，简单说就是，找到两个矩阵，它们相乘之后得到的那个矩阵的值，和待分解矩阵中有值的位置中的值尽可能地接近，这样以来，分解出来的两个矩阵相乘就尽可能地还原了待分解矩阵，因为有值的地方，值都相差得尽可能地小，那么没有值的地方，通过这样的方式算出的值，也就比较符合趋势，毕竟矩阵尽可能地接近了有值的位置上的值。
那么，我们如何求得那两个矩阵呢，可以用很容易地用gradient descent求得，首先写出 cost function:
第一项就是误差项，就是用原评分矩阵中有值的项，减去Q和P对应行、列相应后得到的值，第二项是正则化项，防止过拟合。那么最小化 cost function 就求出了P和Q：
用gradient descent求解P和Q，求梯度步骤很简单，就省略了。现在给出update rules，对每一个原矩阵中有值的项：
多次迭代之收敛后就求出了矩阵P和Q。
上面是将评分矩阵仅仅分解成两个矩阵相乘，这是最简单的形式，除了这种简单的形式，还可以加一些其它的约束以改善推荐的效果，例如分解成下列形式：
是所有item的平均评分，
是用户u的偏置，
是item i的偏置。是直接能算出的，而，是要训练出来的，同样是用gradient descent训练。
下面给大家介绍一篇paper，An Experimental Study on Implicit SocialRecommendation (SIGIR2013)，这篇paper是研究用矩阵分解的方法做推荐系统。上面说到，除了将评分矩阵仅仅分解成两个矩阵相乘之外，还可以加一些其它约束，这些约束一般是以正则化项的形式出现在cost function中，下面给出这篇paper中cost function:
其中
是user i 的最相似的Top-N个user和最不相似的Top-N个user，
是item i 的最相似的Top-N个item和最不相似的Top-N个item。
第1，4，5项比较好理解，就是之前介绍的最简单的那种形式，第2，3项是作者提出的user之间的隐含关系以及item之间的隐含关系考虑进去所定义出来的项，其中
是 user i 和 user f 的similarity，
是 item j 和 item q 的similarity，作者用皮尔森相关系数（Pearson Correlation Coefficient ）来定义它们：
user i 和 user f 之间的皮尔森相关系数：
item j 和 item q 之间的皮尔森相关系数：
paper里做了一个小的处理，对于最不相似的那些user和item，把相似度取了相反数，以便和相似用户放在一起统一训练。 这样一来，cost function 中第2，3项的作用就在于，希望两个similarity高的user，它们对应的u向量接近，同样希望两个similarity高的item，它们对应的v向量接近。这个应该很好理解，比如说，有两个user它们的similarity很高，但这两个user对应的u向量相差得很大，那么cost function中的这项
就会比当两个user对应的u向量相差得很小时要大，于是就会引导训练算法调整u向量来降低误差。用gradient descent训练，update rules如下：
好了，这下就能求出矩阵U和V啦，那怎么检验训练出来的model是好是坏呢？那就要用一些trainingset之外的评分数据来检验，就是在训练的时候，给矩阵保留了一些值不参与训练，在训练完成后，用矩阵U和V计算出原分矩阵中的那些保留值的值对应位置的值，跟原来保留的值比较，看看误差是多少，一般常用均方根误差（RMSE）来衡量：
参考：
An Experimental Study on Implicit SocialRecommendation (SIGIR2013)
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