今天给大家介绍一个machine learning中非常基础又非常重要的算法：gradient descent 梯度下降算法。其实在写这篇文章之前，我前面的文章中就有提到gradient descent，它实在是太“氾滥”了，几乎到处都能看到它的身影。那么，它到底是什么？能干什么？它是一种优化算法，在machine learning中经常用来优化目标函数，那什么是目标函数？目标函数根据问题的不同而不同，大家可以看我的另外两篇文章，里面就用到在gradient descent优化目标函数，大家可以看看里面的目标函数是什么，这两篇文章是BP神经网络和推荐系统之矩阵分解。

       这里就给大家举个稍微简单一点的例子，假设有一堆男生女生的身高体重数据（training set），假是一条是身高体重数据，x1是身高，x2是体重，y是类标号，y=1表示这条数据是男生的，y=-1表示这条数据是女生的。我们希望能学习出一个函数f(X)，使得f(X)能够尽可能准确地描述这些数据，如果能求出这个f(X)，那么任给一个身高体重，就能预测出这人是男生还是女生。

       那么f(X)长什么样？它的形式需要我们来指定，gradient descent只帮我们训练出其中的参数。为了方便讲解，我设f(X)为下面的形式，也就是一个线性的函数（一般来说，非线性的要比线性的函数的拟合能力要强，这里暂不讨论线性与非线性的问题）：

       我们希望f(X)能够尽可能准确地描述training set中的样本，那么如何衡量它描述得准确不准确？那就要定义误差，而定义误差就要和类标号联系起来，因为我们的类标号是y=1表示这条数据是男生的，y=-1表示这条数据是女生的，因此我们希望f(X)对男生的数据输出的值尽量接近1，对女生的数据输出的值尽量接近-1。于是就能计算误差了，对于

男生的数据，误差就是f(X)算出来的值与1的差距，对于女生的数据，误差就是f(X)算出来的值与-1的差距，注意这里的差距，大于或小于都是差距。于是对于一个training set，总的误差函数（cost function）可以定义如下：

       Xi是第i的样本，Yi是第i个样本对应的类标号，在这里就是1或者-1，因为大于或小于类标号都是误差，而误差是非负的，因此加个平方就可以达到这个效果。但是为什么前面有个1/2呢？回想，梯度下降，那肯定要用到梯度，而求梯度是不是要求导呢？那个1/2可以在后面求导的时候把平方的那个2给消掉，方便后续计算。

       好了，现在有了cost function，那么我们下一步的目标就是，求出一最优的参数，使得cost最小，也就是求当，，取什么值时，cost最小。那么怎么求呢？大家是否还记得“梯度”这个东西？一个在当时学高等数学的时候看似没用的东西，在这里却有极大的作用，还记得梯度是什么东西吗？梯度是一个向量，梯度所指的方向就是函数增长最快的方向，也就是说，如果我们沿着梯度的方向调整参数（注意在cost function中，自变量是参数，，，而不是x），就可以使我们的cost变化得最快。但是梯度所指的方向就是函数增长最快的方向，而我们是需要cost减少而不是增加，这怎么办呢？取反方向就好了，也就是说，梯度的反方向指向的就是函数值下降最快的方向，因此沿着梯度的反方向调整参数，就能让cost function以最快的速度下降。我们来求L的梯度，那么就要对，，求偏导：

       接下来让参数沿着梯度方向走，也就是每个分量沿着对应的梯度反方向的分量走，因此参数在每次迭代的更新规则如下：

        其中是学习率（learning rate），一般取值为0到1之间，它可以控制每步走的大小，走得太大的话，有可能走到临近极佳点时，下一步就跨过去了，这样就不收敛了，走得太慢的话，会迭代很多次才收敛。实际上，learning rate的选择也是有专门研究的，这里就不讨论这个问题啦。

        经过多次迭代之后，我们就得到了，，的最优值，也就是在这些个参数下，f(X)对于training set的样本的识别误差最小。这样，我们就训练出了f(X)，就可以用来识别新的样本。