HDU5667Sequence 数学思维+矩阵快速幂+快速幂+费马小定理

2024年5月3日 212次阅读

这道题刚看到就懵圈了。。实在忍不住搜了题解，，发现。。。。emmmm…

或许只有我是个弱鸡吧。。。

啥都不说了，先附上大佬博客Orz：https://blog.csdn.net/yuanjunlai141/article/details/51183053

这道题有两点：1.取对数，乘法变加法。

2.费马小定理，A^b%P=A^( b%Φ(P)+Φ(P) )%P （注：b>=Φ(P)时成立）。又p为素数，Φ(p)=p-1。

附上AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pi acos(-1.0)

ll n,a,b,cc,MOD;
typedef struct
{
    ll a[3][3];
}mat;
mat c,res;

mat mul(mat x,mat y,ll n)
{
    mat cnt;
    memset(cnt.a,0,sizeof(cnt.a));
    for(ll i=0;i<n;i++)
        for(ll j=0;j<n;j++)
            for(ll k=0;k<n;k++)
                cnt.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]%MOD;
    return cnt;
}
mat pow(ll k)
{
    c.a[0][0]=cc;c.a[0][1]=1;c.a[0][2]=b;
    c.a[1][0]=1;c.a[1][1]=0;c.a[1][2]=0;
    c.a[2][0]=0;c.a[2][1]=0;c.a[2][2]=1;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(ll i=0;i<3;i++)
        res.a[i][i]=1;
    while(k>0)
    {
        if(k&1)
            res=mul(res,c,3);
        c=mul(c,c,3);
        k=(k>>1);
    }
    return res;
}
ll QuickMod(ll a,ll b)
{
    a=a%MOD;
	ll ans=(ll)1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%MOD;
        b>>=1;
        a=a*a%MOD;
    }
    return ans%MOD;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        cin>>n>>a>>b>>cc>>MOD;
        if(n==1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(n==2)
        {
            cout<<QuickMod(a,b)%MOD<<endl;
            continue;
        }
        else
        {
            MOD--;//费马小定理
            mat res=pow(n-2);//注意是n-2次!!!
            ll g=b*res.a[0][0]+res.a[0][2];
            if(g>=MOD)
                g=g%MOD+MOD;
            MOD++;
            cout<<QuickMod(a,g)%MOD<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

矩阵快速幂做到现在，发现已经不是由递推式得到结果的问题了，而是怎么得到递推式。。。这就是数学思维的问题了，看来要转战刷数论题了QAQ

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