N个鸡蛋从M楼层摔（2个鸡蛋从100层摔）

2019年11月3日 270次阅读

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一、题目：
　　有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破，在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下，最小化鸡蛋下落的次数。

二、思路：
　　先假设，最小的次数为x次。
　　首先在x层摔，那么会出现两个结果：
　　1、碎了，为了找出那一层碎了，第二个鸡蛋必须从1~x-1进行遍历的摔
　　2、没碎，那么第二次就在x+(x-1)楼层摔。

为什么是x+x-1楼层呢？
首先我们已经假设了通过x步我们就能得到答案，现在我们在x层已经用了一次了，那么就只剩下x-1步了。所以我们选择x+(x-1)层，如果碎了，我们就能通过x-2步，遍历x+1~x+(x-1)-1的所有楼层。

　　3、如果在x+(x-1)楼碎了，那么同1，遍历x+1~x+(x-1)-1
　　4、没碎，那么同2，就在x+(x-1)+(x-2)层摔
　　…
　　最后我们将会得出这样一个楼层公式x+(x-1)+(x-2)+…+1 = x(x+1)/2。
　　这个公式有什么意义呢？
　　有， x(x+1)/2 >= 100，这样才能顺利的解除x。
　　有人说，x(x+1)/2 = 99就可以，如果鸡蛋在99层都没碎，那么必定是100层。我想说谁告诉你记得一定会碎！
　　那么我们就顺利的解除 x=14。

三、扩展
　　此题还有一个扩展，就是为N个鸡蛋从M层摔找出最小值。
　　那就不是很好手解了，所以写了代码，使用动态规划原理。动态规划式子如下：

f[n][m] = 1+max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]) k属于[1,m-1]
解释下原理：
1、当手里有n个的时候，鸡蛋从k层往下摔，如果破了，那么手里只有n-1鸡蛋了，那么就需要测试f[n-1][k-1]楼层。或者更通俗好理解点的，我们运用2个鸡蛋100楼层的题目举例子。以上式子变为：f[2][m] = 1+max(f[1][k-1],f[2][m-k])
　　那么当手里有2个鸡蛋的时候，在k层摔，碎了。那么现在手里也就只有一个鸡蛋了，此时我们必须遍历1~k-1找出第一次碎的楼层。所以为1+f[1][m-k]，前面的1代表在k层的操作。
2、没破，那么手里还有n个鸡蛋，那么需要测试k+1~m这些楼层。
此时我想问下，当手里有2个鸡蛋测试1~m-k层和手里有2个鸡蛋测试k+1~m有什么区别？
有人说有，因为楼层越高越容易碎，那其实是你个人的想法罢了。其实并没有区别，所以第一个公式可以写为f[n][m-k]。

最后附上代码，为了理解方便，而不必从数组从0开始而困扰，这里就空间多开了点，所以如果拿去用的话，可以优化下：

public class Eggs{
    public int countMinSetp(int egg,int num){
        if(egg < 1 || num < 1) return 0;
        int[][] f = new int[egg+1][num+1];//代表egg个鸡蛋，从num楼层冷下来所需的最小的次数
        for(int i=1;i<=egg; i++){
            for(int j=1; j<=num; j++)
                f[i][j] = j;//初始化，最坏的步数
        }

        for(int n=2; n<=egg; n++){
            for(int m=1; m<=num; m++){
                for(int k=1; k<m; k++){
                    //这里的DP的递推公式为f[n][m] = 1+max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]) k属于[1,m-1]
                    //从1-m层中随机抽出来一层k
                    //如果第一个鸡蛋在k层碎了，那么我们将测试1~k-1层，就可以找出来，也即1+f[1][k-1]
                    //如果第一个鸡蛋在k层没有碎，那么我们将测试k+1~m也即m-k层，
                    // 这里也是重点！！！！ 
                    // 现在我们手里有2个鸡蛋，要测试m-k层，那么我想问，此时和你手里有2个鸡蛋要测试1~m-k层有什么区别？
                    // 没有区别！是的在已知k层不碎的情况下，测试k+1~m层的方法和测试1~m-k没区别，所以可以写成 1+f[n][m-k] 其中1表示为 在k层的那一次测试
                    f[n][m] = Math.min(f[n][m],1+Math.max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]));
                }
            }
        }
        return f[egg][num];
    }
    public static void main(String[] args) {
        Eggs e = new Eggs();
        System.out.println(e.countMinSetp(2,100));
    }
}

参考文章：
100层楼2个鸡蛋，如何得知鸡蛋能承受几层的撞击
 两个鸡蛋100层楼(DP)

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破，在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下，最小化鸡蛋下落的次数。

我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为x，即我们为了找出N，一共用鸡蛋做了x次的实验。那么，我们第一次应该在哪层楼往下扔鸡蛋呢？先让我们假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋，如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N，只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。由于第一个鸡蛋在第y层就摔破了，所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果，噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。) 这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。OK，那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N肯定要比x大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？我们可以模仿前面的操作，如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了，那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层；第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)，同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层， ……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100 (x+1)*x/2 >= 100

得出答案是14。

即我先用第1个鸡蛋在以下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试，即可保证在最坏情况下也只需要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始，往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

比如，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试，第二个鸡蛋最多只需要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏情况只需要测试14次即可得出答案。

这个问题还有一个泛化的版本，即d层楼，e个鸡蛋，然后设计方案找出N，使最坏情况下测试的次数最少。这个要用动态规划(DP)来解。

f[d][e]表示d 层楼，e个鸡蛋时，最坏情况下的测试次数，则：

f[d][e]=min{max(f[d-i][e]+1，f[i-1][e-1]+1)}，i=1,2,…,d;

f[k][1]=k，0<=k<=d，f[0][0…e]=0;

实现代码如下：

int min_testnumber(int d, int e)  
{  
        int **f=new int *[d+1];  
        int i,j,k;  
        for(i=0;i<=d;i++) f[i]=new int[e+1]; for(i=0;i<=d;i++) f[i][1]=i; for(i=0;i<=e;i++) f[0][e]=0; for(i=1;i<=e;i++) { for(j=1;j<=d;j++) { int tmp; int min_test=0x7FFFFFFF; for(k=1;k<=j;k++) { tmp=f[j-k][i]+1>f[k-1][i-1]+1?f[j-k][i]+1:f[k-1][i-1]+1; if(tmp>min_test) min_test=tmp; } f[j][i]=min_test; } } return f[d][e]; }

两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。

有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。

最少需要几次测试，才能得到摔碎鸡蛋的楼层？方案如何？

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对于这个问题，如果从编程角度而言，最简单的思路是用动态规划的思想来解决，不过本文不将其从编程角度分析，而是从数学角度对问题进行论述。

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对这个问题，原始问题——【100层楼，最少需要几次测试，才能得到摔碎鸡蛋的楼层】，直接考虑不容易考虑，但是，如果将这个问题进行一种等价的转换，这个问题将会变得非常容易解答。个人认为，这个转换是解决这个问题的核心，这个转换是：

转换问题——【两个鸡蛋，进行k次测试，最多可以测试几层楼】

如果大家能想到将“原始问题”变为“转换问题”，这个问题个人认为已经解决一半了，转换后，这个问题豁然开朗，思路全开。

现在我们以“转换问题”为模板进行考虑，有两个鸡蛋，第一个鸡蛋如果破碎，第二个鸡蛋就必须只能一层一层的测试了，而且，我们要求进行k次测试就将摔碎鸡蛋的楼层必须找到.

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考虑第一次测试。第一次测试的时候，第一个鸡蛋不能放置的楼层太高了，否则，如果第一个鸡蛋破碎，第二个鸡蛋可能不能在k次测试后得到结果。但是也不能放置的矮了，因为如果放置的矮了，第一个鸡蛋破碎了还好说，如果没破，我们浪费了一次测试机会，也不能说是完全浪费了，不过至少是让效用没有最大化。所以，第一次测试的时候必须让第一个鸡蛋放置的不高不矮。

不高不矮是多高？高到如果第一个鸡蛋破碎后第二个鸡蛋刚好能完成k次测试得到结果这个目标。由此可知，第一次测试所在的楼层高度为k，如果第一次测试第一枚鸡蛋破碎，则剩下k-1层楼，一层一层的试，k次一定能完成目标。

如果第一次测试，第一枚鸡蛋没有破碎，则我们现在只有k-1次测试机会了，而且直到了k楼及其以下都是安全的了。我们消耗了一次测试机会，但是一次就测试了k层楼。

然后只有k-1次机会了，第二次测试，我们可以在k层的基础上再增加k-1层了，注意，这个时候由于我们只有k-1次机会，所以这次只能再增加k-1层，以保证测试的时候第一枚鸡蛋破碎的情况下仍然能完成任务。

于是，重复上述过程，直到最后一次机会，我们总共测试的楼层数为：

《N个鸡蛋从M楼层摔（2个鸡蛋从100层摔）》

然后，再回到“原始问题”，100层楼，如果需要k次测试才能测试完成，则必须有

《N个鸡蛋从M楼层摔（2个鸡蛋从100层摔）》

则可以得到，k≥14

也就是需要14次测试才能得到结果，而且这个过程也将测试方案一并得出来，就是第一次在14楼测试，如果第一枚蛋碎，则剩余13次机会，13层未知楼层，恰好，第二次在14+13=27楼测试，如此。

如果不是100层，而是N层，需要的测试次数为k，则有

《N个鸡蛋从M楼层摔（2个鸡蛋从100层摔）》

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然后，这个问题这个时候还可以扩展了，如果我们有三个鸡蛋，有k次机会，我们最大可以测试多少层楼？

思路同前面一样，第一次测试，不能太高也能太矮，必须恰到好处，也就是第一枚鸡蛋如果破碎，剩余k-1次机会能将剩余楼层给测试完。

由上面结论，k-1次机会最多可以测试k(k-1)/2层楼，所以第一次在k(k-1)/2+1层楼，第一次如果第一枚鸡蛋不碎，第二次在此基础上增加(k-1)(k-2)/2+1层楼，于是，三个鸡蛋k次机会总共测试楼层数为

《N个鸡蛋从M楼层摔（2个鸡蛋从100层摔）》

k=9.

至于四个鸡蛋，五个鸡蛋，以至于M个鸡蛋，可以以此类推，方法同上。