算法：动态规划-切木头问题（钢条切割问题）

2019年11月3日 217次阅读

给自己留个纪念吧：一学期的算法课结课（2017年1月3日）期末考试结束，期末考试A了前三道，贴一道动态规划的题目吧。

考试题目上机的题目是这样的：

切原木问题：给定一根长度为N米的原木；另有一个分段价格表，给出长度,对应的价格P​L​​。要求你找出适当切割原木分段出售所能获得的最大收益R​N​​。例如，根据下面给出的价格表，若要出售一段8米长的原木，最优解是将其切割为2米和6米的两段，这样可以获得最大收益R​8​​=P​2​​+P​6​​=5+17=22。。而若要出售一段3米长的原木，最优解是根本不要切割，直接售出。

Length L12345678910
Price P​L​​15891017172023 28

输入原木头的长度；

输出最大价值；

例如输入8；输出22；

好，下面开始思考总结：采用填表自底向上的经典动态规划来做。

对于长度为n的钢条总共有《算法：动态规划-切木头问题（钢条切割问题）》种不同的切割方案。设距离钢条左端i（i = 1,2,….n-1）英寸处为可切割点，那么我们对每个切割点都可以选择切或者不切，则总共有《算法：动态规划-切木头问题（钢条切割问题）》种方法。因此暴力枚举每一种可能是不行的。

动态规划（Dynamic Programming， DP）思想启发于分治算法的思想，也是将复杂问题化解若干子问题，先求解小问题，再根据小问题的解得到原问题的解。但是DP与分治算法不同的是，DP分解的若干子问题，往往是互相不独立的，这时如果用分治算法求解，那么会对重叠子问题重复进行求解，从而使得浪费大量的时间。那么如果我们保存已经计算过的子问题的解，这样当再次计算该子问题时，可以直接使用，这样可以节约大量的时间。

DP正是利用一个表记录所有已经求解过的子问题的答案，只要一个子问题被求解过，就将其答案保存起来，无论以后的计算是否会用到，这就是DP的基本思想。

  设计动态规划的四个步骤：

  1、刻画一个最优解的结构特征。

  2、递归地定义最优解的值。

  3、计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。

  4、利用计算出的信息构造一个最优解。

DP和分治的相似

  • 都是通过组合子问题的解来求解原问题。

DP中的“programming”指的是一种表格法，而非coding。

DP和分治的不同

  • 分治步骤：（例如归并排序）

    • 将问题划分为互不相交的子问题

    • 递归地求解子问题

    • 组合子问题的解，求出原问题的解

  • 对于DP：

    • 应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题（子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题）

      • 这种情况下分治会做很多不必要的工作，会反复求解哪些公共子问题。

      • 而DP对每个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，无需每次都重新计算，避免重复工作。

下面来写一下递推公式：

假设我们最优的第一刀直接切出一个距离左端为i(i = 1, ….n-1)的钢条，这一段整体收益最大，即不再对这一段继续切割。我们只对剩余长度为n-i的钢条，继续切割，求其收益最大的切割方案，这样问题只化为一个更小的子问题。

  由此，我们可以知道长度为n的递推公式为：


                                                           《算法：动态规划-切木头问题（钢条切割问题）》

贴个代码

#include <iostream>  
 
#include <cstring>  
  
using namespace std; //自底向上，两个循环，不用递归； 
  
int main()  
{  
    int n;  
    cin>>n;  
    int price[11]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,23,28};  
    int *r=new int [n+1]; 
  
    for(int i = 0; i<= n; ++i)  
        r[i] = 0;  //初始化
  
    for(int i = 1; i <= n; ++i)//规模长度为i  
    {  
        int q = INT_MIN;  
        for(int j = 1; j <= i; ++j)//计算规模为i的最大收益  
        {  
            if(q < (price[j] + r[i-j]))//因为i>i-j，所以当计算r[i]时，r[i-j]已经解决，可以直接用  
                q = (price[j] + r[i-j]);  //迭代q；
        }  
        r[i] = q;  //找出i这个位置的最优解；
    }  
    cout<<r[n];  //最后是n这个位置，就是n米长的木头的最大价值。
}
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