Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存在负权边的问题，而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法
下面将介绍下三种算法：（该算法模板参照NYOJ 115 城市平乱）
Bellman-ford算法（O(VE)）：
该算法存储数据需要创建图：
例如无向图，
for(int i=1;i<=P;i++){ //创建无向图
scanf(“%d%d%d”,&es[i].from,&es[i].to,&es[i].cost);
es[P+i].from=es[i].to;
es[P+i].to=es[i].from;
es[P+i].cost=es[i].cost;
}
有向图：
for(int i=1;i<=P;i++) scanf(“%d%d%d”,&es[i].from,&es[i].to,&es[i].cost);
算法模板：
struct Node
{
int from,to,cost;
}es[MAX];
int d[max];
void short_path(int Q)
{
for(int i=0;i<=M;i++)dis[i]=inf;
dis[Q]=0;
while(true){
bool update=false;
for(int i=1; i<=2*P;i++){
Node e=es[i];
if(dis[e.from]!=inf && dis[e.to]>e.cost+dis[e.from]){
dis[e.to]=e.cost+dis[e.from];
prev[e.to]=e.from; //进行路径还原，查找出最短的路径经过那几个点。
update=true;
}
}
if(!update)break;
}
}
//判断负圈
for(int j=0;j<M;j++)
for(int i=1;i<=2*P;i++){
Node e=es[i];
if(dis[e.from]!=inf && dis[e.to]>e.cost+dis[e.from]){
dis[e.to]=e.cost+dis[e.from];
if(i==M-1)return 0; //当循环第M-1次还进行更新最短路径，说明存在负环
}
}
Dijkstra算法用堆优化（O(E)）:
创建邻接表
for(int i=1;i<=P;i++){
int f,t,c;
scanf(“%d%d%d”,&f,&t,&c);
Node e;
e.to=f; e.cost=c;
G[t].push_back(e);
e.to=t; e.cost=c;
G[f].push_back(e);
}
算法模板：
struct Node
{
int to,cost;
};
typedef pair<int,int> A;
vector<Node> G[MAX];
int d[max]
void dijkstra(int Q)
{
priority_queue<A,vector<A>,greater<A> > que;
que.push(A(0,Q));
while(!que.empty()){
A p=que.top();que.pop();
int v=p.second;
if(d[v]<p.first)continue;
for(int i=0;i<G[v].size();i++){
Node e=G[v][i];
if(d[e.to]> d[v] + e.cost){
d[e.to]=d[v]+e.cost;
que.push(A(d[e.to],e.to));
}
}
}
}
SPFA算法：
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法
SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：
设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。
维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。
SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm），也是求解单源最短路径问题的一种算法，用来解决：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。 SPFA算法是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算，他的基本算法和Bellman-Ford一样，并且用如下的方法改进： 1、第二步，不是枚举所有节点，而是通过队列来进行优化 设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 2、同时除了通过判断队列是否为空来结束循环，还可以通过下面的方法： 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。
SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL： SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。 LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。 SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。
下面是我自己写的模板
复制代码
void Spfa()
{
for (int i(0); i<num_town; ++i)//初始化
{
dis[i] = MAX;
visited[i] = false;
}
queue<int> Q;
dis[start] = 0;
visited[start] = true;
Q.push(start);
while (!Q.empty()){
int temp = Q.front();
Q.pop();
for (int i(0); i<num_town; ++i)
{
if (dis[temp] + road[temp][i] < dis[i])//存在负权的话，就需要创建一个COUNT数组，当某点的入队次数超过V(顶点数)返回。
{
dis[i] = dis[temp] + road[temp][i];
if (!visited[i])
{
Q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
visited[temp] = false;
}
}
