Bellman-Ford算法与Dijkstra算法思想一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，关键是还可以解决存在负权边的问题，而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法，本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。
Bellman-Ford算法思想
Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图G=（V,E），其源点为s，对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径dist[v]。
Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：
（1） 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ←+∞, dist[s] ←0;
（2） 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
（3） 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。
Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean //图G ，边集 函数 w ，s为源点
1 for each vertex v ∈ V（G） do //初始化 1阶段
2 dist[v] ←+∞
3 dist[s] ←0; //1阶段结束
4 for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始，双重循环。
5 for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。
6 If dist[v]> dist[u]+ w(u,v) then //松弛判断
7 dist[v]=dist[u]+w(u,v) //松弛操作 2阶段结束
8 for each edge（u,v） ∈E(G) do
9 If dist[v]> dist[u]+ w(u,v) then
10 Exit false
11 Exit true
下面给出描述性证明：
首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。
其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行1 遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）
如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 dist[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。
如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。
基本 Bellman-Ford 算法的c语言实现:
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点
typedef struct Edge //边
{
int u, v;
int cost;
}Edge;
Edge edge[N];
int dist[N], pre[N];
bool Bellman_Ford()
{
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
dis[i] = MAX;
dist[original] = 0;
for(int i = 1; i <= nodenum – 1; ++i)
for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
{
if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛
{
dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
pre[edge[j].v] = edge[j].u;
}
}
bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
{
flag = 0;
break;
}
return flag;
}
void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
while(root != pre[root]) //前驱
{
printf(“%d–>”, root);
root = pre[root];
}
if(root == pre[root])
printf(“%d\n”, root);
}
int main()
{
scanf(“%d%d%d”, &nodenum, &edgenum, &original);
pre[original] = original;
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
{
scanf(“%d%d%d”, &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
}
if(Bellman_Ford())
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
{
printf(“%d\n”, dis[i]);
printf(“Path:”);
print_path(i);
}
else
printf(“have negative circle\n”);
return 0;
}
基本算法之上的优化
分析 Bellman-Ford算法，不难看出，外层循环（迭代次数）|v|-1实际上取得是上限。由上面对算法正确性的证明可知，需要的迭代遍数等于最短路径树的高度。如果不存在负权回路，平均情况下的最短路径树的高度应该远远小于 |v|-1，在此情况下，多余最短路径树高的迭代遍数就是时间上的浪费，由此，可以依次来实施优化。
从细节上分析，如果在某一遍迭代中，算法描述中第7行的松弛操作未执行，说明该遍迭代所有的边都没有被松弛。至此后，边集中所有的边都不需要再被松弛，从而可以提前结束迭代过程。这样，优化的措施就非常简单了。
设定一个布尔型标志变量 is_relaxed，初值为false。在内层循环中，仅当有边被成功松弛时，将 is_relaxed 设置为true。如果没有边被松弛，则提前结束外层循环。这一改进可以极大的减少外层循环的迭代次数。优化后的 bellman-ford函数如下。
function bellmanford(s:longint):boolean;
begin
for i:=1 to nv do
dist[i]:=max;
dist[s]:=0;
for i:=1 to nv-1 do
begin
is_relaxed:=false;
for j:=1 TO ne do
if(dist[edges[j].s]<max) and (dist[edges[j].e]>dist[edges[j].s]+edges[j].w)
then begin
dist[edges[j].e]:=dist[edges[j].s]+edges[j].w ;
is_relaxed:=true;
end;
if not is_relaxed then break;
end;
for i:=1 to ne do
if dist[edges[j].e]>dist[edges[j].s]+edges[j].w then exit(false);
exit(true);
end;
优化后的算法在处理有负权回路的测试数据时，由于每次都会有边被松弛，所以relaxed每次都会被置为true，因而不可能提前终止外层循环。这对应了最坏情况，其时间复杂度仍旧为O(VE)。
优化后的算法的时间复杂度已经和用二叉堆优化的Dijkstra算法相近了，而编码的复杂程度远比后者低。加之Bellman-Ford算法能处理各种边值权情况下的最短路径问题，因此还是很不错的。
