Floyd Dijkstra Bellman-Ford spfa 四种最短路经典算法汇总
最短路
Problem Description 在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？
Input 输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output 对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0
Sample Output
3
2
具体算法思路见代码：
No. 1 Floyd
#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 7;
int n, m;
int dis[MAXN][MAXN];
void Init() {
for(int i = 0; i <= n; ++i) {
for(int j = 0; j <= n; ++j) {
i == j ? dis[i][j] = 0 : dis[i][j] = inf;
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin >> n >> m) {
if(!n && !m) break;
Init();
int u, v, w;
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
cin >> u >> v >> w;
dis[u][v] = min(w, dis[u][v]);
dis[v][u] = min(w, dis[v][u]);
}
/**************************************
* Floyd O(n^3)
* 三行情书, for 循环中i, j, k
* 顺序不能变（k）
* 本质是动态规划，枚举状态，转移
**************************************/
for(int k = 1; k <= n; ++k) {
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
if(dis[i][k] < inf && dis[k][j] < inf && dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) {
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
}
}
}
}
cout << dis[1][n] << endl;
}
return 0;
}
No. 2 Dijkstra
/**********************************************************
* 最短路Dijkstra算法 O(n^2)
* 适用于求单源最短路，不适合带有负权的情形
* 算法思想：从原点出发，每次找一个源点能到达的最短路
* 径并找到该点将其标号，再从源点开始将所有
* 点的距离依照
* dis[j] > dis[index] + gra[index][j]
* 更新
* 基于：最短路的子路也一定是最短路
*********************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
#define inf 0x7ffffff
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 7;
int n, m;
int dis[MAXN], vis[MAXN], gra[MAXN][MAXN];
void Init() {
for(int i = 0; i <= n; ++i) {
vis[i] = 0;
for(int j = 0; j <= n; ++j) {
gra[i][j] = inf;
}
}
}
void Dijkstra(int u) {
int mindis = inf, index;
vis[u] = 1, dis[u] = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
dis[i] = gra[u][i];
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
mindis = inf;
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
if(!vis[j] && dis[j] < mindis) {
mindis = dis[j];
index = j;
}
}
vis[index] = 1;
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
if(!vis[j] && dis[index] + gra[index][j] < dis[j]) {
dis[j] = dis[index] + gra[index][j];
}
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin >> n >> m) {
if(!n && !m) break;
Init();
int u, v, w;
for(int i = 0; i < m; ++i) {
cin >> u >> v >> w;
gra[u][v] = min(gra[u][v], w);
gra[v][u] = min(gra[v][u], w);
}
Dijkstra(1);
cout << dis[n] << endl;
}
return 0;
}No. 3 Bellman-Ford
/*******************************************************
* Bellman-Ford O(V*E)
* 使用条件更广泛，可处理带环，负权，负环的问题
* 可求得单元最短路并求出路径反向输出
* 算法伪码：
* BELLMAN-FORD(G, w, s)
* 1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
* 2 for i ← 1 to |V[G]| - 1 // 最多n-1次松弛
* 3 do for each edge (u, v) ∈ E[G]
* 4 do RELAX(u, v, w)
* 5 for each edge (u, v) ∈ E[G]
* 6 do if d[v] > d[u] + w(u, v)
* 7 then return FALSE
* 8 return TRUE
* 算法思想：
* 首先初始化所有dis[i] = inf
* 对于每一条边e(u, v)，
* 如果
* dis[u] + w(u, v) < dis[v]
* 则令
* dis[v] = dis[u]+w(u, v)
* w(u, v)为边e(u,v)的权值；
* 为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。
* 松弛完成后，对于每一条边e(u, v)，如果存在
* dis[u] + w(u, v) < dis[v]的边，
* 则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。
* 否则数组dis[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
*
* PS：无向图可用反向建边的方式
*
******************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 7;
struct Edge {
int u, v, w;
}edge[MAXN * MAXN * 2];
int dis[MAXN], n, m;
void Init() {
for(int i = 1; i <= 2*m; ++i) {
edge[i].w = inf;
}
for(int i = 0; i <= n; ++i) {
dis[i] = inf;
}
}
bool BellmanFord(int u) {
dis[u] = 0;
for(int i = 1; i < n; ++i) {
for(int j = 1; j <= 2*m; ++j) {
if(dis[edge[j].u] < inf) {
dis[edge[j].v] = min(dis[edge[j].v], dis[edge[j].u] + edge[j].w);
}
}
}
bool flag = true;
for(int i = 1; i <= 2*m; ++i) {
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].w) {
flag = false;
break;
}
}
return flag;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin >> n >> m) {
if(!n && !m) break;
Init();
int u, v, w;
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
cin >> u >> v >> w;
edge[i].u = u;
edge[i].v = v;
//cout << edge[i].w << endl;
edge[i].w = min(w, edge[i].w);
edge[i+m].u = v;
edge[i+m].v = u;
edge[i+m].w = min(w, edge[i+m].w);
}
BellmanFord(1);
cout << dis[n] << endl;
}
return 0;
}No. 4 Spfa (亦即优化的Bellman-Ford)
/*******************************************************
* spfa O(k * E) (k 一般 <= 2)
* 算法思想：spfa其实就是改进的Bellman-Ford
* 这里将由i发出的能直接到达的点存放在
* link[i]里，用bfs进行松弛操作，将在队
* 列里面的点标记，每次将队首元素出列，
* 根据link[v]遍历与v连接的点并进行松弛
* 操作，遍历完所有点后就得到了最短路（存在）
* 再开一个cnt数组，cnt[i]表示i进入队列
* 的次数，当i>n时，存在负环，无最短路
* #define endl "\n"
#define inf 0x7fffffff // 注意inf的条件
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 7;
int gra[MAXN][MAXN], vis[MAXN], dis[MAXN], cnt[MAXN];
vector< vector<int> > link(MAXN); // link[i]中存由i能直接到达的点的编号
int n, m;
void Init() {
for(int i = 0; i < MAXN; ++i) { // 多重vector不能直接link.clear()
link[i].clear();
}
for(int i = 0; i <= n; ++i) {
dis[i] = inf;
cnt[i] = vis[i] = 0;
}
for(int i = 0; i <= n; ++i) {
for(int j = 0; j <= n; ++j) {
i == j ? gra[i][j] = 0 : gra[i][j] = inf;
}
}
}
bool spfa(int u) {
dis[u] = 0;
cnt[u] = vis[u] = 1; // vis代表在不在队列内
queue<int> q;
q.push(u);
while(!q.empty()) {
int v = q.front();
vis[v] = 0; // 每次队首元素出队列就将vis[v]置零
q.pop();
for(int i = 0; i < link[v].size(); ++i) { // 由v指向的所有点进行松弛操作
if(dis[v] < inf && dis[link[v][i]] > dis[v] + gra[v][link[v][i]]) {
dis[link[v][i]] = dis[v] + gra[v][link[v][i]];
if(!vis[link[v][i]]) {
q.push(link[v][i]);
vis[link[v][i]] = 1;
cnt[link[v][i]]++;
if(cnt[link[v][i]] > n) return false; // 存在负环
}
}
}
}
return true;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin >> n >> m) {
if(!n && !m) break;
Init();
int u, v, w;
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
cin >> u >> v >> w;
gra[u][v] = min(w, gra[u][v]); // 无向图反向建边
gra[v][u] = min(w, gra[v][u]);
link[u].push_back(v);
link[v].push_back(u);
}
spfa(1);
cout << dis[n] << endl;
}
return 0;
}
