Bellman–Ford

简单介绍

Bellman-Ford算法与Dijkstra算法思想一样，用于求解单源点最短路径问题。

Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，关键是还可以解决存在负权边的问题，而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。

但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至优于Dijkstra算法（除非极端情况）。

算法思想

贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法类似，都以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。

在两个算法中，计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。 然而，迪科斯彻算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作，共|V | − 1次，其中 |V |是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。

这样的策略使得贝尔曼-福特算法比迪科斯彻算法适用于更多种类的输入。

贝尔曼-福特算法的最多运行O（|V|·|E|)次，|V|和|E|分别是节点和边的数量）。

下图表示算法的大概过程

在这个图中，假设A是起点，并且边以最坏的顺序处理，从右到左，需要|V|−1步或4次计算路径长度。相反地，若边以最优顺序处理，从左到右，算法只需要在一次遍历内完成。

算法流程

（1） 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ←+∞, dist[s] ←0;

（2） 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3） 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。

伪代码表示

procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
   // 该实现读入边和节点的列表，并向两个数组（distance和predecessor）中写入最短路径信息

   // 步骤1：初始化图
   for each vertex v in vertices:
       if v is source then distance[v] := 0
       else distance[v] := infinity
       predecessor[v] := null

   // 步骤2：重复对每一条边进行松弛操作
   for i from 1 to size(vertices)-1:
       for each edge (u, v) with weight w in edges:
           if distance[u] + w < distance[v]:
               distance[v] := distance[u] + w
               predecessor[v] := u

   // 步骤3：检查负权环
   for each edge (u, v) with weight w in edges:
       if distance[u] + w < distance[v]:
           error "图包含了负权环"

原理

松弛： 每次松弛操作实际上是对相邻节点的访问，第 {\displaystyle n} n次松弛操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过 V-1条边，所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操作：与迪科斯彻算法不同的是，迪科斯彻算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路，而“松弛”操作则是在广度上寻路，这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定：因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

优化算法SFFA

适用范围

很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。

我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）：

设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。

下图为spfa算法实例

我们知道SPFA有两个很有名的优化
SLF 和 LLL
SLF：Small Label First 策略。
　　实现方法是，设队首元素为 i，队列中要加入节点 j，在 dj<=di 时加到队首而不是队尾，否则和普通的 SPFA 一样加到队尾。
　LLL：Large Label Last 策略。
　　实现方法是，设队列 Q 中的队首元素为 i，距离标号的平均值为 avg(d)，每次出队时，若 di>avg(d)，把 i 移到队列末尾，如此反复，直到找到一个 i 使 ，di<=avg(d)将其出队。

SPFA的两种写法，bfs和dfs，bfs判别负环不稳定，相当于限深度搜索，但是设置得好的话还是没问题的，dfs的话判断负环很快

DFS写法

int spfa_dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int k=f[u]; k!=0; k=e[k].next)
    {
        int v=e[k].v,w=e[k].w;
        if( d[u]+w < d[v] )
        {
            d[v]=d[u]+w;
            if(!vis[v])
            {
                if(spfa_dfs(v))
                    return 1;
            }
            else
                return 1;
        }
    }
    vis[u]=0;
    return 0;
}

BFS写法

int spfa_bfs(int s)
{
    queue <int> q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[s]=0;
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    q.push(s);  vis[s]=1; c[s]=1;
    //顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数
    int OK=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x;
        x=q.front(); q.pop();  vis[x]=0;
        //队头元素出队，并且消除标记
        for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表
        {
            int y=v[k];
            if( d[x]+w[k] < d[y])
            {
                d[y]=d[x]+w[k];  //松弛
                if(!vis[y])  //顶点y不在队内
                {
                    vis[y]=1;    //标记
                    c[y]++;      //统计次数
                    q.push(y);   //入队
                    if(c[y]>NN)  //超过入队次数上限，说明有负环
                        return OK=0;
                }
            }
        }
    }

    return OK;

}