前言
- SPFA S P F A 算法由于它上限 O(NM)=O(VE) O ( N M ) = O ( V E ) 的时间复杂度,被卡掉的几率很大.在算法竞赛中,我们需要一个更稳定的算法: dijkstra d i j k s t r a .
什么是 dijkstra d i j k s t r a ?
- dijkstra d i j k s t r a 是一种单源最短路径算法,时间复杂度上限为 O(n2) O ( n 2 ) (朴素),在实际应用中较为稳定 ; ; 加上堆优化之后更是具有 O((n+m)log2n) O ( ( n + m ) log 2 n ) 的时间复杂度,在稠密图中有不俗的表现.
dijkstra d i j k s t r a 的原理/流程?
- dijkstra d i j k s t r a 本质上的思想是贪心,它只适用于不含负权边的图.
- dijkstra d i j k s t r a 的流程如下 : :
- 1. 1. 初始化 dis[start]=0, d i s [ s t a r t ] = 0 , 其余节点的 dis d i s 值为无穷大.
- 2. 2. 找一个未被标记的, dis d i s 值最小的节点 x, x , 标记节点 x. x .
- 3. 3. 遍历 x x 的所有出边 (x,y,z), ( x , y , z ) , 若 dis[y]>dis[x]+z, d i s [ y ] > d i s [ x ] + z , 则令 dis[y]=dis[x]+z d i s [ y ] = d i s [ x ] + z
- 4. 4. 重复 2,3 2 , 3 两步,直到所有点都被标记 . .
- 时间复杂度为 O(n2) O ( n 2 )
图解
- 我们把点分成两类,一类是已经确定最短路径的点,称为”白点”,另一类是未确定最短路径的点,称为”蓝点”
- (令 start=1 s t a r t = 1 )
- 开始时我们把 dis[start] d i s [ s t a r t ] 初始化为 0 0 ,其余点初始化为 inf i n f
- 第一轮循环找到 dis d i s 值最小的点 1 1 ,将 1 1 变成白点,对所有与 1 1 相连的蓝点的 dis d i s 值进行修改,使得 dis[2]=2,dis[3]=4,dis[4]=7 d i s [ 2 ] = 2 , d i s [ 3 ] = 4 , d i s [ 4 ] = 7
- 第二轮循环找到 dis d i s 值最小的点 2 2 ,将 2 2 变成白点,对所有与 2 2 相连的蓝点的 dis d i s 值进行修改,使得 dis[3]=3,dis[5]=4 d i s [ 3 ] = 3 , d i s [ 5 ] = 4
- 第三轮循环找到 dis d i s 值最小的点 3 3 ,将 3 3 变成白点,对所有与 2 2 相连的蓝点的 dis d i s 值进行修改,使得 dis[4]=4 d i s [ 4 ] = 4
- 接下来两轮循环分别将 4,5 4 , 5 设为白点,算法结束,求出所有点的最短路径
- 时间复杂度 O(n2) O ( n 2 )
为什么 dijkstra d i j k s t r a 不能处理有负权边的情况?
- 我们来看下面这张图
- 2 2 到 3 3 的边权为 −4 − 4 ,显然从 1 1 到 3 3 的最短路径为 −2 − 2 (1−>2−>3). ( 1 − > 2 − > 3 ) . 但在循环开始时程序会找到当前 dis d i s 值最小的点 3 3 ,并标记它为白点.
- 这时的 dis[3]=1, d i s [ 3 ] = 1 , 然而 1 1 并不是起点到 3 3 的最短路径.因为 3 3 已经被标为白点,所以 dis[3] d i s [ 3 ] 不会再被修改了.我们在边权存在负数的情况下得到了错误的答案.
dijkstra d i j k s t r a 的堆优化?
- 观察 dijkstra d i j k s t r a 的流程,发现步骤 2 2 可以优化
- 怎么优化呢?
- 我会zkw线段树!我会斐波那契堆!
- 我会堆!
我们可以用堆对 dis d i s 数组进行维护,用 O(log2n) O ( log 2 n ) 的时间取出堆顶元素并删除,用 O(log2n) O ( log 2 n ) 遍历每条边,总复杂度 O((n+m)log2n) O ( ( n + m ) log 2 n )
范例代码:
#include<bits/stdc++.h>
const int MaxN = 100010, MaxM = 500010;
struct edge
{
int to, dis, next;
};
edge e[MaxM];
int head[MaxN], dis[MaxN], cnt;
bool vis[MaxN];
int n, m, s;
inline void add_edge( int u, int v, int d )
{
cnt++;
e[cnt].dis = d;
e[cnt].to = v;
e[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt;
}
struct node
{
int dis;
int pos;
bool operator <( const node &x )const
{
return x.dis < dis;
}
};
std::priority_queue<node> q;
inline void dijkstra()
{
dis[s] = 0;
q.push( ( node ){0, s} );
while( !q.empty() )
{
node tmp = q.top();
q.pop();
int x = tmp.pos, d = tmp.dis;
if( vis[x] )
continue;
vis[x] = 1;
for( int i = head[x]; i; i = e[i].next )
{
int y = e[i].to;
if( dis[y] > dis[x] + e[i].dis )
{
dis[y] = dis[x] + e[i].dis;
if( !vis[y] )
{
q.push( ( node ){dis[y], y} );
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf( "%d%d%d", &n, &m, &s );
for(int i = 1; i <= n; ++i)dis[i] = 0x7fffffff;
for( register int i = 0; i < m; ++i )
{
register int u, v, d;
scanf( "%d%d%d", &u, &v, &d );
add_edge( u, v, d );
}
dijkstra();
for( int i = 1; i <= n; i++ )
printf( "%d ", dis[i] );
return 0;
}
例题
- 入门模板:P3371
- 进阶模板:P4779
- 其余例题请右转洛谷题库,搜索”最短路”
后记
- 本文部分内容摘自李煜东《算法竞赛进阶指南》和《信息学竞赛一本通》
- 友情提示:正权图请使用 dijkstra d i j k s t r a 算法,负权图请使用 SPFA S P F A 算法
