1、Dijkstra算法
求一个顶点到其它所有顶点的最短路径，是一种按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。
算法思想：
按路径长度递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
1. 初始时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止
2、Floyd算法
求所有顶点到所有顶点的最短路径。
算法思想：
1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。
把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。
优缺点：
Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
算法具体代码如下：
/* Graph.h头文件 */
/*包含图的建立：图的深度优先遍历、图的广度优先遍历*/
/*包含图的最小生成树：Prim 算法、Kruskal 算法*/
/*包含图的最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd算法*/
#include<iostream>
#include"LinkQueue.h"
#define MAXVEX 100
#define MAXEDGE 100
#define INFINITY 65535
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
typedef int Boolean;
typedef int Patharc[MAXVEX]; /*用于存储最短路径下标的数组*/
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; /*用于存储到各点最短路径的权值和*/
typedef int Pathmatrix[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable_Floyd[MAXVEX][MAXVEX];
using namespace std;
/*邻接矩阵方式建立图*/
class MGraph{
public:
VertexType vexs[MAXVEX];
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes,numEdges;
};
/*建立无向网图的邻接矩阵表示*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
int i,j,k,w;
cout<<"输入顶点数和边数："<<endl;
cin>>G->numVertexes>>G->numEdges;
cin.clear();
cout<<"输入顶点信息："<<endl;
for(i=0;i<G->numVertexes;i++)
{
cin>>G->vexs[i];
cin.clear();
}
for(i=0;i<G->numVertexes;i++)
for(j=0;j<G->numVertexes;j++)
{
if (i==j)
G->arc[i][j]=0;
else
G->arc[i][j]=INFINITY;
}
for(k=0;k<G->numEdges;k++)
{
cout<<"输入边（vi,vj）上的下标i，下标j和权w:"<<endl;
cin>>i>>j>>w;
cin.clear();
G->arc[i][j]=w;
G->arc[j][i]=G->arc[i][j];
}
}
/*邻接矩阵的深度优先递归算法*/
Boolean visited[MAXVEX]; /*访问标志的数组*/
void DFS(MGraph G,int i)
{
int j;
visited[i]=TRUE;
cout<<G.vexs[i]; /*打印顶点，也可以其他操作*/
for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
if(G.arc[i][j]==1 && !visited[j])
DFS(G,j); /*对为访问的邻接顶点递归调用*/
}
/*邻接矩阵的深度优先遍历操作*/
void DFSTraverse(MGraph G)
{
cout<<"\n深度优先遍历结果为："<<endl;
int i;
for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
visited[i]=FALSE; /*初始化所有顶点状态都是未访问过状态*/
for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
if(!visited[i]) /*对未访问过的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次*/
DFS(G,i);
cout<<endl;
}
/*邻接矩阵的广度遍历算法*/
void BFSTraverse(MGraph G)
{
cout<<"广度优先遍历结果为："<<endl;
int i,j;
LinkQueue Q;
for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
visited[i]=FALSE;
for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
{
if(!visited[i])
{
visited[i]=TRUE;
cout<<G.vexs[i];
Q.EnQueue(i);
while(!Q.QueueEmpty())
{
Q.DeQueue(&i);
for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
{
if(G.arc[i][j]==1 && !visited[j])
{
visited[j]=TRUE;
cout<<G.vexs[j];
Q.EnQueue(j);
}
}
}
}
}
cout<<endl;
}
/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
cout<<"Prim算法生成最小生成树，结果为："<<endl;
int min,i,j,k;
int adjvex[MAXVEX];
int lowcost[MAXVEX];
lowcost[0]=0;
adjvex[0]=0;
for(i=1;i<G.numVertexes;i++)
{
lowcost[i]=G.arc[0][i];
adjvex[i]=0;
}
for(i=1;i<G.numVertexes;i++)
{
min=INFINITY;
j=1;k=0;
while(j<G.numVertexes)
{
if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
{
min=lowcost[j];
k=j;
}
j++;
}
cout<<"("<<adjvex[k]<<","<<k<<")"<<endl;
lowcost[k]=0;
for(j=1;j<G.numVertexes;j++)
{
if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=G.arc[k][j];
adjvex[j]=k;
}
}
}
cout<<endl;
}
/* Kruskal 算法生成最小生成树 */
class Edge{ /*对边集数组Edge结构的定义*/
public:
int begin;
int end;
int weight;
};
void Swap(Edge *edges,int i,int j) /* 交换权值 以及头和尾 */
{
int temp;
temp=edges[i].begin;
edges[i].begin=edges[j].begin;
edges[j].begin=temp;
temp=edges[i].end;
edges[i].end=edges[j].end;
edges[j].end=temp;
temp=edges[i].weight;
edges[i].weight=edges[j].weight;
edges[j].weight=temp;
}
void sort(Edge edges[],MGraph *G) /* 对权值进行排序 */
{
int i,j;
for ( i=0;i<G->numEdges;i++)
{
for ( j=i+1;j<G->numEdges;j++)
{
if (edges[i].weight>edges[j].weight)
{
Swap(edges,i,j);
}
}
}
cout<<"权排序之后的为:"<<endl;
for (i=0;i<G->numEdges;i++)
{
cout<<"("<<edges[i].begin<<","<<edges[i].end<<")"<<endl;
}
}
int Find(int *parent,int f) /*查找连线顶点的尾部下标*/
{
while (parent[f]>0)
f=parent[f];
return f;
}
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i,j,n,m;
Edge edges[MAXEDGE];
int parent[MAXVEX];
/*将邻接数组G转化为边集数组edges并按权由小到大排序*******BEGIN*********/
int k=0;
for ( i=0;i<G.numVertexes-1;i++)
{
for (j=i+1;j<G.numVertexes;j++)
{
if (G.arc[i][j]<INFINITY)
{
edges[k].begin=i;
edges[k].end =j;
edges[k].weight=G.arc[i][j];
k++;
}
}
}
sort(edges, &G);
/***************END***********************/
for (i=0;i<G.numVertexes;i++)
parent[i]=0; /* 初始化数组值为0 */
cout<<"Kruskal 算法生成最小生成树，结果为："<<endl;
for (i=0;i<G.numEdges;i++) /* 循环每一条边 */
{
n=Find(parent,edges[i].begin);
m=Find(parent,edges[i].end);
if (n!=m) /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
{
parent[n]=m; /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
cout<<"("<<edges[i].begin<<","<<edges[i].end<<") "<<edges[i].weight<<endl;
}
}
}
/* Dijkstra算法，求有向网G的V0顶点到其余顶点V最短路径P[V]及带权长度D[V]*/
/*P[V]的值为前驱顶点下标，D[V]表示V0到V的最短路径长度和*/
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int V0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
int v,w,k,min;
int final[MAXVEX];
for(v = 0; v<G.numVertexes; v++)
{
final[v] = 0;
(*D)[v] = G.arc[V0][v];
(*P)[v] = V0;
}
(*D)[V0] = 0;
final[V0] = 1;
/*开始主循环，每次求得V0到某个V顶点的最短路径*/
for(v=0; v<V0; v++)
{
min = INFINITY;
for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
{
if(!final[w] && (*D)[w]<min)
{
k = w;
min = (*D)[w];
}
}
final[k] = 1;
for (w=0; w<G.numVertexes; w++) /*修正当前最短路径及距离*/
{
if(!final[w] && (min+G.arc[k][w]<(*D)[w]))
{
(*D)[w] = min+G.arc[k][w];
(*P)[w] = k;
}
}
}
for(v=V0+1; v<G.numVertexes; v++)
{
min = INFINITY;
for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
{
if(!final[w] && (*D)[w]<min)
{
k = w;
min = (*D)[w];
}
}
final[k] = 1;
for (w=0; w<G.numVertexes; w++) /*修正当前最短路径及距离*/
{
if(!final[w] && (min+G.arc[k][w]<(*D)[w]))
{
(*D)[w] = min+G.arc[k][w];
(*P)[w] = k;
}
}
}
cout<<"V"<<V0<<"节点到其余个节点的最短路径为："<<endl;
for (w=0; w<G.numVertexes; w++)
{
cout<<(*D)[w]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<"V"<<V0<<"节点到其余个节点的最短路径的前驱节点为："<<endl;
for (w=0; w<G.numVertexes; w++)
{
cout<<"V"<<(*P)[w]<<" ";
}
cout<<endl;
}
/***********Dijkstra算法结束************/
/*Floyd算法，求网图G中各顶点V到其余顶点W最短路径P[V][W]及带权长度D[V][W]*/
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatrix *P, ShortPathTable_Floyd *D)
{
int v,w,k;
for(v=0; v<G.numVertexes; ++v) /*初始化D与P*/
{
for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
{
(*D)[v][w] = G.arc[v][w];
(*P)[v][w] = w;
}
}
for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)
{
for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
{
for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
{
if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
{
(*D)[v][w] = (*D)[v][k]+(*D)[k][w];
(*P)[v][w] = (*P)[v][k];
}
}
}
}
for(v=0; v<G.numVertexes; ++v) /*输出显示最短路径*/
{
for(w=v+1; w<G.numVertexes; w++)
{
cout<<"V"<<v<<"-V"<<w<<"的最短距离为："<<(*D)[v][w]<<endl;
k = (*P)[v][w];
cout<<"路径为：V"<<v;
while(k!=w)
{
cout<<" -> V"<<k;
k=(*P)[k][w];
}
cout<<" -> V"<<w<<endl;
}
cout<<endl;
}
}
/***********Floyd算法结束************/对于如下的图：
代码运行结果如下：
两算法结果一致。
