问题描述：

假定我们知道sering公司出售一段长度为I英寸的钢条的价格为pi(i=1,2,3….)钢条长度为整英寸如图给出价格表的描述

这个题不说什么递归算法复杂度有多高的什么的问题了，就直接说一下动态规划，首先我们这样想这个题，就是把长度为i英寸的钢条切割，首先切一刀会切成两部分，或者不切。现在就比较这两种情况哪种的收益高（切或者不切），如果不切收益高，那么结果直接就是不切的收益，如果切成两部分，那么这两部分又可以看成是有两个不同长度的钢条，每一个钢条接着按这个方法讨论。这种方法其实就是动态规划的自底向上法。这种方法一般需要且当定义子问题“规模”的概念，是的任何子问题的求解都只依赖于“更小的”自问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。当求某个子问题时，它所依赖的哪些更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题斗智求解一次，当我们求解它时，它的所有前提子问题都以求解完成。下面先给出这个题的代码，然后再做详细解释：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int  p[10010];
int  r[10010];
int  s[10010];
int n;

int bottom_up_cut_rod(int p[],int n)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)    r[i]=0;
	int q;
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		q=-inf;
		for(int i=1;i<=j;i++)
		{
			if(q<p[i]+r[j-i])
			{
				q=p[i]+r[j-i];
				s[j]=i;
			}
		}
		r[j]=q;
	}
	return r[n];
}

int print_cut(int p[],int n,int s[])
{
		while(n>0)
		{
			printf("%d  ",s[n]);
			n=n-s[n];
		}
		cout<<endl;
}

int main()
{
	int num;
	cout<<"请输入钢条收益"<<endl;
	cin>>num;
	for(int i=1;i<=num;i++)    scanf("%d",&p[i]);
	cout<<"请输入钢条长度:\n"<<endl;
	while(~scanf("%d",&n))
			{
			cout<<"最大收益是："<<bottom_up_cut_rod(p,n)<<endl;
			cout<<"切割方案为： ";
			print_cut(p,n,s);
			cout<<endl;
			cout<<"请输入钢条长度：\n"<<endl;
			}
	return 0;
}

  主函数的一些输入输出只是一个形式就不详细说了，重点说一下int bottom_up_cut_rod(int p[],int n)这个函数，这个函数有两个参数，一个是价格表p和钢条长度，然后这个函数就是把每一个长度都从i 到n都作出一个最优收益值，就如j从1开始，列出最优收益值放在数组r【】中，然后如果j等于7需要分割的时候会自动读取出前面的最优收益值。然后把最大收益值的切割的第一段钢条长度保存在在另一个数组s[]中，函数print_cut(int p[],int n,int s[])的实现就是总长度减去第一段钢条长度，然后接着判断剩下的长度是否满足条件，最后将切割方案输出.在这举个例子，如果输入的n是7的话，首先从1到7算出了其对应的最优切割方案，然后将切割方案输出的时候，首先会输出s[7]，这个时候s[7]=1,首先会把1打印出来，接着n=n-s[7]=6,满足n>0。然后打印出s[6],这个时候s[6]=6(因为6的最优切割方案就是不切割)，此时n=0不满足条件了，所以结果输出程序结束。

最后附上算法导论15.1-3加固定成本的问题解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int  p[10010];
int  r[10010];
int  s[10010];
int n;

int bottom_up_cut_rod(int p[],int n,int c)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)    r[i]=0;
	int q;
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		q=-inf;
		for(int i=1;i<=j;i++)
		{
			if(q<(p[i]+r[j-i]-c*(j!=i)))
			{
				q=(p[i]+r[j-i]-c*(j!=i));
				s[j]=i;
			}
		}
		r[j]=q;
	}
	return r[n];
}

int print_cut(int p[],int n,int s[])
{
		while(n>0)
		{
			printf("%d  ",s[n]);
			n=n-s[n];
		}
		cout<<endl;
}

int main()
{
	int num,c;
	cout<<"请输入钢条收益"<<endl;
	cin>>num;
	for(int i=1;i<=num;i++)    scanf("%d",&p[i]);
	cin>>c;
	cout<<"请输入钢条长度:\n"<<endl;
	while(~scanf("%d",&n))
			{
			cout<<"最大收益是："<<bottom_up_cut_rod(p,n,c)<<endl;
			cout<<"切割方案为： ";
			print_cut(p,n,s);
			cout<<endl;
			cout<<"请输入钢条长度：\n"<<endl;
			}
	return 0;
}