背包问题

背包问题是一个很经典的算法问题，根据其复杂程度不同又可分为01背包问题、完全背包问题、多重背包问题、二维背包问题等等。本文讲一讲二维多重背包问题的动态规划解法。

01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是a[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

完全背包问题

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是a[i]，价格是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

多重背包问题

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件，每件体积是a[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

二维背包问题

有N件物品和一个容量为V，载重为U的背包。第i件物品的体积是a[i]，重量是b[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

二维多重背包问题

二维多重背包问题即是多重背包问题和二维背包问题的结合——有N种物品和一个容量为V，载重为U的背包。第i种物品最多有n[i]件，每件体积是a[i]，重量是b[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

void backpack(int V, int U, int a[], int b[], int w[], int n[], int N) {
    int i, j, k, l, *x, ***dp;

    //初始化
    dp = (int ***) malloc(sizeof(int **) * (N + 1));
    for (i = 0; i <= N; ++i) {
        dp[i] = (int **) malloc(sizeof(int *) * (V + 1));
        for (j = 0; j <= V; ++j) {
            dp[i][j] = (int *) malloc(sizeof(int) * (U + 1));
        }
    }
    for (i = 0; i <= N; ++i) {
        for (j = 0; j <= V; ++j) {
            memset(dp[i][j], 0, sizeof(int) * (U + 1));
        }
    }
    x = (int *) malloc(sizeof(int) * N); //打印方案
    memset(x, 0, sizeof(int) * N);

    //求解
    for (i = 1; i <= N; ++i) {
        for (j = a[i - 1]; j <= V; ++j) {
            for (k = b[i - 1]; k <= U; ++k) {
                dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                for (l = 1; l <= n[i - 1]; ++l) {
                    if (l * a[i - 1] <= j && l * b[i - 1] <= k) {
                        dp[i][j][k] =
                                dp[i][j][k]
                                        > (dp[i - 1][j - l * a[i - 1]][k
                                                - l * b[i - 1]] + l * w[i - 1]) ?
                                        dp[i][j][k] :
                                        (dp[i - 1][j - l * a[i - 1]][k
                                                - l * b[i - 1]] + l * w[i - 1]);
                    } else {
                        break;
                    }
                }
            }
        }
    }

    //打印
    j = V;
    k = U;
    for (i = N; i > 0; --i) {
        if (dp[i][j][k] > dp[i - 1][j][k]) {
            for (l = 1; l * a[i - 1] <= j && l * b[i - 1] <= k; ++l) {
                if (dp[i][j][k]
                        == (dp[i - 1][j - l * a[i - 1]][k - l * b[i - 1]]
                                + l * w[i - 1])) {
                    x[i - 1] = l;
                    j -= l * a[i - 1];
                    k -= l * b[i - 1];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    printf("best value:%d\n", dp[N][V][U]);
    printf("best solution:");
    for (i = 0; i < N; ++i)
        printf("%d ", x[i]);
    printf("\n");
}

以上是最基础的解法，空间复杂度O(NVU)，时间复杂度O(NVU*sum(n[]))。

附：当只有一维的多重背包问题时，通过单调队列优化，空间复杂度可由O(NV)优化至O(V)，时间复杂度可由O(NV*sum(n[]))优化至O(NV)。
一维的01背包问题、完全背包问题、多重背包问题解可以见http://blog.csdn.net/wzy_1988/article/details/12260343，一维背包打印 http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html。
不过上文对多重背包问题未优化，多重背包问题单调队列优化可见http://alwa.info/2014/05/27/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%98%9F%E5%88%97%E4%BC%98%E5%8C%96/ 或 http://lvat2000.is-programmer.com/posts/185588.html