经典动态规划问题
三角数塔问题
设有一个三角形的数塔，顶点为根结点，每个结点有一个整数值。从顶点出发，可以向左走或向右走，如图所示：
要求从根结点开始，请找出一条路径，使路径之和最大，只要输出路径的和。
思路
从叶节点倒推回根，因为每个节点只可能向左或者向右，所以转移方程为
dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXN 101
int n,d[MAXN][MAXN];
int a[MAXN][MAXN];
void fnRecursive(int,int);
//递推方法函数声明
int fnMemorySearch(int,int);
//记忆化搜索函数声明
int main()
{
int i,j;
printf("输入三角形的行数n(n=1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("按行输入数字三角形上的数(1-100):\n");
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=i; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=i; j++)
d[i][j]=-1;//初始化指标数组
printf("递推方法：1\n记忆化搜索方法：2\n");
int select;
scanf("%d",&select);
if(select==1)
{
fnRecursive(i,j);//调用递推方法
printf("\n%d\n",d[1][1]);
}
if(select==2)
{
printf("\n%d\n",fnMemorySearch(1,1));//调用记忆化搜索方法
}
else
printf("输入错误！");
return 0;
}
void fnRecursive(int i,int j)
//递推方法实现过程
{
for(j=1; j<=n; j++)
d[n][j]=a[n][j];
for(i=n-1; i>=1; i--)
for(j=1; j<=i; j++)
d[i][j]=a[i][j]+(d[i+1][j]>d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]);
}
int fnMemorySearch(int i,int j)
//记忆化搜索实现过程
{
if(d[i][j]>=0) return d[i][j];
if(i==n) return(d[i][j]=a[i][j]);
if(fnMemorySearch(i+1,j)>fnMemorySearch(i+1,j+1))
return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j)));
else
return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j+1)));
}硬币问题
有n种硬币，面值分别为V1,V2,…,Vn, 每种有无限多。给定非负整数S，可以选用多少硬币，使得面值之和恰好为S，输出硬币数目的最小值和最大值。（1<=n<=100,0<=S<=10000,1<=Vi<=S）。
思路
完全背包，可以选择无限次某个物品，来达到某个（重量）。
把S看做重量和，把硬币的面值看重量，把硬币个数当做是价值（也就是1）。
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define INF 100000000
#define MAXNUM 10000
#define MONEYKIND 100
int n,S;
int V[MONEYKIND];
int min[MAXNUM],max[MAXNUM];
void dp(int*,int*);
//递推方法函数声明
void print_ans(int*,int);
//输出函数声明
int main()
{
int i;
printf("输入硬币的种数n(1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入要组合的钱数S(0-10000):\n");
scanf("%d",&S);
printf("输入硬币种类：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&V[i]);
}
dp(min,max);
printf("最小组合方案：\n");
print_ans(min,S);
printf("\n");
printf("最大组合方案：\n");
print_ans(max,S);
return 0;
}
void dp(int *min,int *max)
//递推过程实现
{
int i,j;
min[0] = max[0] = 0;
for(i=1; i<=S; i++)//初始化数组
{
min[i]=INF;
max[i]=-INF;
}
for(j=1; j<=n; j++)
for(i=1; i<=S; i++)
if(i>=V[j])
{
if(min[i-V[j]]+1<min[i])
{
min[i]=min[i-V[j]]+1;//最小组合过程
//printf("%d\n",min[i]);
}
if(max[i-V[j]]+1>max[i])
max[i]=max[i-V[j]]+1;//最大组合过程
}
}
void print_ans(int *d,int S)
//输出函数实现
{
int i;
for(i=1; i<=n; i++)
if(S>=V[i]&&d[S]==d[S-V[i]]+1)
{
printf("%d-",V[i]);
print_ans(d,S-V[i]);
break;
}
}矩形嵌套问题
有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a,b描述，表示它的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中，当且仅当a
思路
预处理一个二维矩阵，G[i][j]表示第i个矩阵可以被套进第j个矩阵里。
然后用记忆化搜索爆搜，时间复杂度O( N2 )
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXNUM 100//矩形的最大个数
struct Rect
{
int x;
int y;
};
int n;//矩形个数
struct Rect rect[MAXNUM];
int G[MAXNUM][MAXNUM];//邻接有向图
int d[MAXNUM];//过程数组
int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM]);
int main()
{
int i,j,z;
printf("输入矩形个数n(1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入矩形的长和宽：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&rect[i].x);
scanf("%d",&rect[i].y);
}
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
{
if(rect[i].x<rect[j].x&&rect[i].y<rect[j].y || rect[i].y<rect[j].x&&rect[i].x<rect[j].y )
G[i][j]=1;
}
printf("输入要开始的矩形z：\n");
scanf("%d",&z);
//printf("%d-",z);
int temp = dp(z,G);
printf("最大可嵌套个数：%d\n",temp);
return 0;
}
int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM])
{
int j;
if(d[i]>0)
return d[i];
d[i]=1; //嵌套自己本身
for(j=1; j<=n; j++)
if(G[i][j])
if(dp(j,G)+1>d[i])
{
d[i]=dp(j,G)+1;
}
return d[i];
}最长不下降序列问题
设有一个正整数序列b1，b2，b3，……，bn，若下标为i1
思路
两种解法，一种是 O(N2) 的解法，比较简单。dp[i]表示以num[i]结尾的最长上升子序列。
另一种是 Nloh(N) 的解法，思路是，记录现阶段的最长上升子序列d[i]，然后对于每一个num[i]，若num[i]大于d[len(d)-1]，则在d数组后面加上num[i]；否则，在d数组中用二分搜索找出第一个大于num[i]的值，并替换为num[i]，这样最长上升子序列长度不变，但是得到了一个更有潜力成为最长上升子序列的子序列。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[40005];
int d[40005];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
if (n==0) //0个元素特判一下
{
printf("0\n");
return 0;
}
d[1]=a[1]; //初始化
int len=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (a[i]>=d[len]) d[++len]=a[i]; //如果可以接在len后面就接上
else //否则就找一个最该替换的替换掉
{
int j=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d; //找到第一个大于它的d的下标
d[j]=a[i];
}
}
/* for (int i=2; i<=n; i++) { len = 0; for(int j=1; j<i; j++) if((a[i]>=a[j])&&(d[j]>len)) len=b[j]; if(len>0) d[i]=len+1; } */
printf("%d\n",len);
return 0;
}0-1背包问题
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXN 100//物品种类最大数量
int w[MAXN],V[MAXN];
int C;//最大容量
int n;//物品种类
int d[MAXN][MAXN];
int jMax;
int min(int,int);
//两数之间的最小值
int max(int,int);
//两数之间的最大值
void print_ans(int d[][MAXN],int,int);
//构造最优解并输出
int main()
{
int i,j;
printf("输入物品种类数n(1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入每个种类的重量：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&w[i]);
}
printf("输入每个种类的价值：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&V[i]);
}
printf("输入背包的容量C：\n");
scanf("%d",&C);
jMax=min(C,w[n]-1);
for(j=0; j<=jMax; j++)
d[n][j]=0;
for(j=w[n]; j<=C; j++)
d[n][j]=V[n];
for(i=n-1; i>1; i--)
{
jMax=min(C,w[i]-1);
for(j=0; j<=jMax; j++)
d[i][j]=d[i+1][j];
for(j=w[i]; j<=C; j++)
d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j-w[i]]+V[i]);
}
d[1][C]=d[2][C];
if(C>=w[i])
d[1][C]=max(d[1][C],d[2][C-w[i]]+V[1]);
printf("最大可容纳：%d\n",d[1][C]);
return 0;
}
int min(int x,int y)
{
if(x>y)
return y;
else
return x;
}
int max(int x,int y)
{
if(x<y)
return y;
else
return x;
}数字游戏问题
小W发明了一个游戏，他在黑板上写出了一行数字a1，a2，a3，……，an，然后给你M个回合的机会，每回合你可以从中选择一个数字擦去它，接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi。如此重复m个回合，所有你擦去的数字之和就是你所得的分数。
编程算算，对于每个a和b序列，可以得到的最大得分是多少。
输入样例：
3 {数字个数n}
3 {回合数m}
10 20 30 {n个原始序列}
4 5 6 {n个每回合每个数字递减的值}
输出样例：
47
思路
让a[i]和b[i]，关于b降序排列。减少得多的先被擦掉，就可以让剩下的和尽可能的大。（但是总觉得好像）
dp[i][j]表示前i个数字在第j轮的时候的最大取值。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+a[i]-b[i]*(j-1))
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXNUM 100
int n;//数字个数
int m;//回合数
int Num[MAXNUM];//原始数据数组
int DescNum[MAXNUM];//递减数据数组
int F[MAXNUM][MAXNUM];//过程数组
void swap(int &,int &);
//交换两个整数
int max(int ,int );
//取两个中的最大值
int main()
{
int i,j;
printf("输入数字的个数n(1-100)：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入回合数m(1-100)<=n：\n");
scanf("%d",&m);
printf("输入n个原始序列：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&Num[i]);
}
printf("输入n个递减的数字：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&DescNum[i]);
}
for(i=1; i<=n; i++)
{
for(j=i+1; j<=n; j++)
{
if(DescNum[i]<DescNum[j])
{
swap(Num[i],Num[j]);
swap(DescNum[i],DescNum[j]);
}
}
}
// for(int i = 1; i<=n; i++)
// printf("%d ", DescNum[i]);
for(i=1; i<=n; i++)
{
F[i-1][0]=0;
for(j=1; j<=m; j++)
F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-1]+Num[i]-DescNum[i]*(j-1));
}
printf("得分：%d\n",F[n][m]+DescNum[1]);
return 0;
}
void swap(int &x,int &y)
{
int temp;
temp = x;
x = y;
y = temp;
}
int max(int x,int y)
{
if(x<y)
return y;
else
return x;
}
挖地雷
在一个地图上有N个地窖（N<=200）,每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时，给出地窖之间的连接路径，并规定路径都是单向的。某人可以从任一处开始挖地雷，然后沿着指出的连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案，使他能挖到最多的地雷。
思路
类似第一题
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXNUM 200
int n;//地窖的个数
int w[MAXNUM];//每个地窖中的地雷数
int Sum[MAXNUM];//挖到的地雷总数
int G[MAXNUM][MAXNUM];//形成的图
int next[MAXNUM];//记录路径
int max;//最大值
int start;
//void init(int G[MAXNUM][MAXNUM]);
//void init2(int n[MAXNUM]);
int main()
{
int i,j,x,y;
printf("输入地窖的个数n(1-200)：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入各个地窖中的地雷数：\n");
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&w[i]);
}
//init(G);//初始化有向图
printf("输入各个地窖之间的链接(x,y):\n");
scanf("%d,%d",&x,&y);
while(x!=0&&y!=0)
{
G[x][y]=1;
scanf("%d,%d",&x,&y);
}
//init2(Sum);
Sum[n]=w[n];
for(i=n-1;i>=1;i--)
{
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
if(G[i][j]&&Sum[j]>Sum[i])
{
Sum[i]=Sum[j];
next[i]=j;
}
}
Sum[i] += w[i];
}
max = 0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(Sum[i]>max)
{
max=Sum[i];
start = i;
}
}
printf("最大路径：");
printf("%d-",start);
while(next[start]!=0)
{
printf("%d-",next[start]);
start = next[start];
}
printf("最大挖雷数：%d\n",max);
return 0;
}
最小代价子母树
设有n堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，n（n≤100）。每堆沙子有一定的数量，如下表
13 7 8 16 21 4 18
现在要将n堆沙子归并成一堆。归并的过程为每次只能将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过n-1次归并之后最后成为一堆，如上面7堆沙子，可以有多种方法归并成一堆，归并的代价是这样定义的，将两堆沙子归并为一堆时，两堆沙子数量的和称为归并2堆沙子的代价。由此可见，不同归并过程得到的总的归并代价是不一样的。
问题：n堆沙子的数量给出之后，找出一种合理的归并方法，使总的归并代价为最小。
[输入格式]
n {表示沙子的堆数, 2<=n<=100}
a1 a2 … an {表示每堆沙子的数量,1<=Ai<=100}
[输出格式]
x {表示最小的归并总代价 }
输入样例：
7
13 7 8 16 21 4 18
输出样例：
239
思路
典型的区间dp
代码
#include <STDIO.H>
#include <STDLIB.H>
#define INF 1000000
#define MAXNUM 100
int n;//沙子的堆数
int Num[MAXNUM];//每堆沙子的数量
int F[MAXNUM][MAXNUM];//过程函数
int G[MAXNUM][MAXNUM];
int fnMin(int ,int );
//返回两个数的最小值
int main()
{
int i,j,k,m,L,t;
printf("输入沙堆的堆数n(1-100)：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入每堆中沙子的个数：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&Num[i]);
G[i][i]=Num[i];
F[i][i]=0;
}
for (m=n-1;m>=1;m--)
{
for (i=1;i<=m;i++)
{
L=n-m+1;
j=i+L-1;
for (k=i;k<=j;k++)
{
G[i][j]=G[i][j]+G[k][k];
}
F[i][j]=INF;
for (k=i;k<=j-1;k++)
{
t=F[i][k]+F[k+1][j]+G[i][j];
if (t<F[i][j])
{
F[i][j]=t;
}
}
}
}
printf("最小代价：%d\n",F[1][n]);
return 0;
}数字移动问题
给出一个1到n的排列，每次可以移动一个数到一个任意位置。问要达到状态1,2,3……n至少移动多少次？
Sample Input
5
2 1 4 5 3
Sample Output
2
思路
计算出最长上升子序列，然后用总长度减去它。
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXNUM 100//最大数字个数
#define INF 100000000
int n;//数字个数
int Num[MAXNUM];//未排序数字
int Last[MAXNUM];
void update(int x,int y,int L[],int N[],int i);
//递归函数
int main()
{
int i,j;
int lis;
printf("输入数字的个数n(1-100)：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入数字：\n");
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&Num[i]);
}
lis = 0;
Last[lis]=-INF;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(Num[i]>Last[lis])
{
lis++;
Last[lis]=Num[i];
}
else
update(0,lis,Last,Num,i);
}
printf("最少移动次数：%d\n",n-lis);
return 0;
}
void update(int x,int y,int L[],int N[],int i)
{
if(x==y)
{
L[x]=N[i];
}
else
{
if(L[(x+y)/2]>N[i])
{
update(x,(x+y)/2,L,N,i);
}
else
{
update((x+y)/2+1,y,L,N,i);
}
}
}
叠放箱子问题
某港口有一批箱子，将其编号，分别为1至N。每一个箱子的尺寸规格是一样的，现在要将其中某些箱子叠放起来，箱子叠放的规则如下：
一、每个箱子上最多只能直接叠放一个箱子；
二、编号较小的箱子不能放在编号较大的箱子之上；
三、每个箱子都给出了自身重量与可承受重量，每个箱子之上的所有箱子重量之和不得超过该箱的可承受重量。
为了节约堆放场地，希望你编程从中选出最多个箱子，使之能够在满足条件的情况下叠放起来。
【输入】
第一行是一个整数N（1≤N≤1000）。
以下共有N行，每行两个整数，中间以空格分隔，分别表示每个箱子的自身重量与可承受重量，两个数值均为小于等于3000的正整数。
【输出】
第一行应当输出最多可叠放的箱子总数M。
【样例】有五个箱子，如下表：
1 19 15
2 7 13
3 5 7
4 6 8
5 1 2
则最多可以叠放4个箱子，方案之一如：1、2、3、5
思路
倒序计算
其余为0-1背包。
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXNUM 1000//最大的箱子个数
#define MAXWIGHT 3000//
int n;//箱子数目
int F[MAXNUM+1][6000];//第i个箱子到第n个箱子中总重量为j的最大箱子数
int Weight[MAXNUM];//箱子重量
int Capacity[MAXNUM];//箱子所能承受的压力
int max(int ,int );
//返回两个数的最大值
int main()
{
int i,j,ans;
printf("输入箱子的个数n(1-1000):\n");;
scanf("%d",&n);
printf("分别输入箱子的重量和能承受的重量(x y):\n");
for(i=1; i<=n; i++)
scanf("%d %d",&Weight[i],&Capacity[i]);
F[n+1][0] = 0;
for(i=n; i>=1; i--)
{
for(j=0; j<=2*MAXWIGHT; j++)
{
F[i][j]=F[i+1][j];
if(j>=Weight[i]&&Capacity[i]>=j-Weight[i])
{
F[i][j]=max(F[i][j],F[i+1][j-Weight[i]]+1);
}
}
}
ans=0;
for(i=0; i<=6000; i++)
ans = max(ans,F[1][i]);
printf("最大叠放：%d",ans);
return 0;
}
int max(int x,int y)
{
if(x>y)
return x;
else
return y;
}
