斐波那契数列是一个比较经典的数列：0，1，1，2，3，5，8，…特点是除了第一二项，每一项的值等于前边两项的值的和。

记得在学习编程语言的时候，老师用斐波那契数列这个例子来引出“递归”的思想。

先介绍一下用递归如何求解第n个斐波那契数列的值：

#include <iostream>
using namespace std;
double function1(double n) {
	if(n==0)
		return 0;
	if(n==1)
		return 1;
	return function1(n-1)+function1(n-2);
}

这个算法本身没有错，但是有一个问题：当求解的项比较大时（比如第50项，第100项），耗费的时间变得非常多。这涉及到另外一门学科：算法设计与分析，有一个名词叫“时间复杂度”，没听过时间复杂度的读者可以这样简单地理解：一段代码耗费的时间可以表示成一个函数，当测试的数据量增加时耗费的时间也会增加，即这个函数的值会增大，但是增大的趋势也有差别，比如y=x^2增长的速度比y=x增长的速度要大得多。也就是说，y=x^2耗费的时间会比y=x大得多。

按照递归的思想来解决这个问题，以上边的代码为例，其时间复杂度是O(2^n)，之所以会这么大，是因为递归的时候会重复计算很多次相同的值。

下面进入正题：用动态规划的思想解决斐波那契数列的问题。

简单说说思想：之前说了，之所以递归会那么耗时，是因为递归的时候重复计算了很多遍已经计算过的值。那么我们可以把每次计算的结果记录下来，等到计算的时候，只要找到要用的两个值，就可以直接相加得到结果。

也就是说，采用一种映射，记录下key-value的值，然后要用n-1和n-2个项的时候，直接取出key=n-1和key=n-2的对应的value。

映射，在C++中有一个叫做map的头文件，但是如果去查一下，就会知道，map<key,value>并没有<int,int>的构造方法（如果想要采用<string,int>也可以考虑）.其实还有更简单的方法，不需要用map，直接用数组。开一个int型的数组，数组的下标作为key,值作为value,既避免了复杂的数据结构，又能够达到目的。

代码如下：

void function2(int l) {
	double *a=new double[l];
	for(int i=0;i<l;i++)
		a[i]=0;
	a[0]=0;a[1]=1;
	for(int i=2;i<l;i++) {
		a[i]=a[i-1]+a[i-2];
	}
	cout<<a[l-1]<<endl;
}

参数l是要求解的项的位置（也就是第l项）

这种方法可以把时间复杂度降为O(n).一输入数字就可以很快得到结果了。

运行的main函数：

int main() {
	int l=0;
	cin>>l;
	cout<<"function2:\n";
	function2(l);
	cout<<"function1:\n"<<function1(l-1)<<endl;
	return 0;
}

注意function1（也就是递归函数）传入的参数是l-1，因为对于一个数列，我们都是从第1项开始，但是对于一个数组，其下标是从0开始。

之所以函数中使用的类型是double，是因为当输入的l比较大的时候，int或者long类型均会发生溢出。而main函数先输出function2，是因为当输入的l比较大，运行的时候就可以看到，function2一下子就出来，而function1还要等很久。如果l比较小，耗费的时间差别就不太明显。

运行结果就不放图了，代码如上，有兴趣的读者可以自己去试一试。