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id=5354)

一.Dilworth定理

      本定理输入离散数学的知识，讲解此定理之前，首先科普一些相关知识：
      链（chain）是一个偏序集S的全序子集（所谓全序是指任意两个元素可比较）
      反链（antichain）是一个偏序集S的子      集，其中任意两个元素不可比较
      极大（maximal）链:对一个链C，如果找不到另一个链C’，使得C是C’的真子集，那么称链C是极大的
      极大（maximal）反链：对一个反链A，如果找不到另一个反链A’，使得A是A’的真子集，那么称反链A是极大的
      最大链（maximum/longest）：链C包含元素个数不少于任意其他链C’，则C是最大链
      最大反链（maximum/largest）：反链D包含元素的个数不少于任意其他链D’，则D是最大反链
（有上面推倒可知，最大链必然是极大链，最大反链必然是极大反链）

      Dilworth定理说明，存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分，使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时，对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链，A一定是此序列中的最大反链。同样地，对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分，P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。

二.思路

      由上面可知，仔细思考发现，此题是一个很典型的Dilworth定理的题目，给定了一个集合K（我们姑且这么认为），给出了length与weight这两种不同集合的关系，即p1（<=length） 与 p2（<=weight）
。
      不同于我们抽象理解上面定理，通俗理解，我们要对现有集合进行筛选，满足一个关系，无论是p1还是p2的关系，形成一个新的集合K’。在此基础上，我们再次求出，满足剩余的关系，无论p1还是p2。从而，找出最终的关系K”，既满足p1又满足p2,即 p1∪p2 的集合。

三.实现代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
//定义具体的元素节点
struct DataNode{
    int length;
    int weight;
};
//存放节点的数据集K
DataNode dataSet[5001];

//使用了algorithm(算法)库的qsort函数，实现快排
int cmp (const void *aa, const void *bb)
{
    struct DataNode *a = (DataNode*) aa;
    struct DataNode *b = (DataNode*) bb;
    if (a->length == b->length)
    {
        return b->weight - a->weight;
    }
    else
    {
        return  b->length - a->length;
    }
}

int main  ()
{
    int N;
    cin>>N;
    while (N--)
    {
        int data_size;
        cin>>data_size;
        for (int i=0;i<data_size;i++)
        {
            cin>>dataSet[i].length>>dataSet[i].weight;
        }
        //使用qsort函数
        qsort(dataSet,data_size,sizeof(dataSet[0]),cmp);
        //记录我们需要的时间
        int cnt_time = 0;


        //要形成一个满足<=的偏序关系，此题目的偏序关系是：weight<= && lenght<= ，需要同时满足，
        //我们可以这么认为，对于此集合s ，求出满足weight<=的偏序集 ，又求出了length<= 的偏序集，
        //对于这两个偏序集合，我们求出并集,即是满足条件的集合q

        //标记我们的数据是否满足关系（p1 或者 p2），放入集合中
        bool pd_flag[5001];
        //初始化标记数组，当时的memset（）函数突然无法起作用，现在还是不明原因
        for (int i=0;i<data_size;i++)
        {
            pd_flag[i] = false;
        }
        for (int i=0;i<data_size;i++)
        {
            if (pd_flag[i] == false)//判断dataSet[i]是否已经放入某个集合中
                {
                DataNode flag_bz;
                flag_bz.length = dataSet[i].length;
                flag_bz.weight = dataSet[i].weight;
                cnt_time++;//如果还没有放入一个集合，代表此元素属于一个新的集合
                for (int j=i;j<data_size;j++)
                //筛选并标记是否在一个满足p1或者p2关系的相同集合中
                {
                    if (dataSet[j].length <= flag_bz.length && dataSet[j].weight <= flag_bz.weight && pd_flag[j] == false)
                    {
                        pd_flag[j] = true;
                        flag_bz.length = dataSet[j].length;
                        flag_bz.weight = dataSet[j].weight;
                    }
                }
            }
        }

        cout<<cnt_time<<endl;
    }
    return 0;
}