回溯算法讲解--适用于leetcode绝大多数回溯题目

什么是回溯算法?
回溯法是一种系统搜索问题解空间的方法。为了实现回溯,需要给问题定义一个解空间
说到底它是一种搜索算法。只是这里的搜索是在一个叫做解空间的地方搜索。
而往往所谓的dfs,bfs都是在图或者树这种数据结构上的搜索。
根据定义来看,要实现回溯,需要两点1搜索2解空间
先看什么是解空间
就是形如数组的一个向量[a1,a2,….,an]。这个向量的每个元素都是问题的部分解,只有当这个数组的每一个元素都填满(得到全部解)的时候,才表明这个问题得到了解答。
再看搜索
最简单的就是for循环,上面的向量有n个维度,因此就是n个for循环。
形如:

for(求a1位置上的解)
   for(求a2位置上的解)
      for(求a3位置上的解)
       ......
       ......
       for(求an位置上的解)

但是如果n是100?n是100000?那么如何回溯?
当然也可以写n个for循环,但是这样的程序会惨不忍睹。。。而且似乎10000个(不过往往回溯的时间复杂度太大,一般n不会这么大)for循环也很难写出来。。。
因此我们需要一种全新的书写回溯的方法。形如:

void backtrack(int i,int n,other parameters)
{
  if( i == n)
{
 //get one answer
record answer;
return;
}
//下面的意思是求解空间第i个位置上的下一个解
for(next ans in position i of solution space)
{
  backtrack(i+1,n,other parameters);
}
}

就是这么简单!!!
上面的模板适用于所有”解空间确定”的回溯法的问题!!!
上面的i代表解空间的第i个位置,往往从0开始,而n则代表解空间的大小。每一次的backtrack(i,n,other)调用,代表求解空间第i个位置上的解。而当i=n时,代表解空间上的所有位置的解都已经求出。
有了上述模板,我们就解决了搜索的问题。
因此几乎所有回溯的问题的难度都在于如何定义解空间
下面通过题目,带入模板,然后再看我的解答,来感知一下如何定义解空间。
全排列https://segmentfault.com/a/11…
即对没有重复数字的数组a=[a1,a2,a3,…an]求全排列。
解空间定义为s=[s1,s2,s3,….sn]与数字长度相同。s的每一个元素s【i】(i >= 0&&i < n),都为数组a中的任意元素a【j】(j >= 0&&j < n),不过要保证任意的s【i】不相等。
这里唯一复杂的地方是需要用一个boolean【】数组来表明哪些数已经用过,这样才能保证任意的s【i】不相等。
因此我们看到,回溯本身是很简单的,单纯的模板套用,难的在于需要根据回溯条件来定义各种别的变量,以及最后结果的记录。

探测路径https://leetcode-cn.com/probl… (这个下面给出ac 代码)
这个题很难,但是掌握了如何定义解空间之后再做这个题就会感觉是小儿科了。
这里的解空间s = [s1,s2,s3,….sn]中的每一个元素s【i】代表格子的坐标(x,y),因此从逻辑上来看,s应该是一个类类型的数组。不过,这个题求的是数目,而不是最后的确切路径,因此解空间在这里并没有记录。
java ac代码:

class Solution {
    int ans;
    public int uniquePathsIII(int[][] grid) {
        if(grid.length == 0)return 0;
        int num = 0;
        int x = 0,y = 0;
        for(int i = 0;i < grid.length;i++)
            for(int j = 0;j < grid[0].length;j++){
                if(grid[i][j] == 1||grid[i][j] == 0)num++;
                if(grid[i][j] == 1){x = i;y = j;}
            }
        backtrack(0,num,x,y,grid,new boolean[grid.length][grid[0].length]);
        return ans;
    }
    
    void backtrack(int i,int n,int x,int y,int[][]grid,boolean[][]flag)
    {
        if(!(x >= 0 && x < grid.length && y >= 0 && y < grid[0].length)||flag[x][y]||grid[x][y] == -1)
            return;
        if(i == n && grid[x][y] == 2)
        {
            ans++;
            return;
        }
        flag[x][y] = true;
        backtrack(i+1,n,x+1,y,grid,flag);
        backtrack(i+1,n,x-1,y,grid,flag);
        backtrack(i+1,n,x,y+1,grid,flag);
        backtrack(i+1,n,x,y-1,grid,flag);
        flag[x][y] = false;
    }
}

上面这个题的解空间应该有N+1个才对,但是为了方便书写,我只求出前n个位置的解,然后保证最后一个位置是终点即可。

    原文作者:Linus脱袜子
    原文地址: https://segmentfault.com/a/1190000018319044
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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