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Name: 拓扑排序之关键路径(深度优先搜索)
Copyright:
Author: 巧若拙
Date: 17-11-14 21:02
Description: 拓扑排序之关键路径
若在带权的有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如该活动持续时间），
则此带权的有向图称为边表示活动的网 (Activity on Edge Network) ，简称 AOE 网。
(1)AOV 网具有的性质
⒈ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始。
⒉ 只有在进入某一顶点的各有向边所代表的活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能发生。
⒊ 表示实际工程计划的 AOE 网应该是无环的，并且存在唯一的入度过为 0 的开始顶点和唯一的出度为 0 的完成顶点。
(2)由事件 v j 的最早发生时间和最晚发生时间的定义 , 可以采取如下步骤求得关键活动 :
1. 从开始顶点 v 1 出发 , 令 ve(1)=0, 按拓朴有序序列求其余各顶点的可能最早发生时间。
Ve(k)=max{ve(j)+dut(<j,k>)} （ 7.1 ）
j ∈ T
其中 T 是以顶点 v k 为尾的所有弧的头顶点的集合 (2 ≤ k ≤ n) 。
如果得到的拓朴有序序列中顶点的个数小于网中顶点个数 n ，则说明网中有环，不能求出关键路径，算法结束。
2. 从完成顶点 v n 出发，令 vl(n)=ve(n) ，按逆拓朴序列求其余各顶点的允许的最晚发生时间 :
vl(j)=min{vl(k)-dut(<j,k>)}
k ∈ S
其中 S 是以顶点 v j 是头的所有弧的尾顶点集合 (1 ≤ j ≤ n-1) 。
3. 求每一项活动 a i (1 ≤ i ≤ m) 的最早开始时间 e(i)=ve(j) ；最晚开始时间
l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)
。若某条弧满足 e(i)=l(i) ，则它是关键活动。
输入：
第一行两个整数n，m分别表示顶点个数和边的条数，其中顶点的编号为0~n-1。
接下来的m行，每行有三个数u，v，w，表示从弧尾u到弧头v的边的权值w。
8 10
0 1 5
0 2 4
1 4 3
2 3 2
3 4 1
4 5 6
4 6 6
5 7 2
6 7 2
4 7 8
输出：
输出所有关键路径，每行输出一个关键路径。格式如下：
0->1->4->7
0->1->4->5->7
0->1->4->6->7
算法分析：
采用深度优先搜索进行拓扑排序，获取拓扑序列的同时计算各顶点事件的最早发生时间，然后逆序计算各顶点事件的最晚发生时间。
本文是《大话数据结构》的读书笔记，在输出关键路径时采用深度优先搜索输出关键路径，能输出多条关键路径。
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXN 26 //最大顶点数量
#define MAXM 100000 //最大边数量
typedef int VertexType; //顶点类型由用户自定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型由用户自定义
typedef struct EdgeNode{ //边表结点
int adjvex; //邻接点域，存储该顶点对应的下标
EdgeType weight; //权值，对于非网图可以不需要
struct EdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
} EdgeNode;
typedef struct VertexNode{ //顶点表结点
VertexType data; //顶点域，存储顶点信息
int in; //存储顶点入度的数量
EdgeNode *firstEdge; //边表头指针
} VertexNode;
void CreateGraph(VertexNode *GL, int n, int m);//把顶点和边信息读入到表示图的邻接表中
int TopoLogicalSort_DFS(int topo[], int Etv[], VertexNode *GL, int n);//深度优先搜索获取拓扑序列
void CriticalPath(VertexNode *GL, int n);//求关键路径
void PrintPath(VertexNode *GL, int Etv[], int Ltv[], int path[], int top, int end);//深度优先搜索输出关键路径
int main()
{
int i, m, n;
VertexNode GL[MAXN];
printf(“请输入顶点数量和边数量:”);
scanf(“%d%d”, &n, &m);
CreateGraph(GL, n, m);//把顶点和边信息读入到表示图的邻接表中
CriticalPath(GL, n);//求关键路径
return 0;
}
void CreateGraph(VertexNode *GL, int n, int m)//把顶点和边信息读入到表示图的邻接表中
{
int i, u, v;
EdgeNode *e;
for (i=0; i<n; i++)//初始化图
{
GL[i].data = i;
GL[i].in = 0;
GL[i].firstEdge = NULL;
}
for (i=0; i<m; i++)
{
e = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode)); //采用头插法插入边表结点
if (!e)
{
puts(“Error”);
exit(1);
}
scanf(“%d%d%d”, &u, &v, &e->weight);
e->next = GL[u].firstEdge;
GL[u].firstEdge = e;
e->adjvex = v;
GL[v].in++;
}
}
int TopoLogicalSort_DFS(int topo[], int Etv[], VertexNode *GL, int n)//深度优先搜索获取拓扑序列
{
int i, u, v, top, count = 0;
EdgeNode *e;
int *Stack;
Stack = (int*)malloc(sizeof(int) * n); //分配栈空间
if (!Stack)
{
puts(“Error”);
exit(1);
}
for (top=i=0; i<n; i++)//将入度为0的顶点入栈
{
Etv[i] = 0; //初始化各事件最早发生事件为0
if (GL[i].in == 0)
{
Stack[top++] = i;
}
}
while (top > 0)//采用深度优先搜索获取拓扑序列
{
u = Stack[–top];
topo[count++] = u;
for (e=GL[u].firstEdge; e!=NULL; e=e->next)//将u的邻接点入度减1，并将入度为0的顶点入栈
{
v = e->adjvex;
if (–GL[v].in == 0)
Stack[top++] = v;
if (Etv[v] < Etv[u] + e->weight)//更新各顶点事件的最早发生时间
Etv[v] = Etv[u] + e->weight;
}
}
free(Stack);
return (count == n);//如果count小于顶点数，说明存在环
}
void CriticalPath(VertexNode *GL, int n)//求关键路径
{
int i, u, v;
EdgeNode *e;
int topo[MAXN], path[MAXN];
int Etv[MAXN], Ltv[MAXN];//存储事件的最早和最晚发生时间
if (!TopoLogicalSort_DFS(topo, Etv, GL, n))
{
puts(“不存在关键路径”);
return;
}
for (i=0; i<n; i++)
{
Ltv[i] = Etv[n-1]; //初始化各事件最晚发生事件为最后一个事件发生的时间
}
for (i=n-2; i>=0; i–)
{
u = topo[i];
for (e=GL[u].firstEdge; e!=NULL; e=e->next)
{
v = e->adjvex;
if (Ltv[u] > Ltv[v] – e->weight)//更新各顶点事件的最晚发生时间
Ltv[u] = Ltv[v] – e->weight;
}
}
path[0] = topo[0];
PrintPath(GL, Etv, Ltv, path, 1, topo[n-1]);
}
void PrintPath(VertexNode *GL, int Etv[], int Ltv[], int path[], int top, int end)//深度优先搜索输出关键路径
{
int i, u = path[top-1];
EdgeNode *e;
if (u == end)
{
printf(“%d”, path[0]); //输出关键路径
for (i=1; i<top; i++)
{
printf(“->%d”, path[i]);
}
printf(“\n”);
return;
}
for (e=GL[u].firstEdge; e!=NULL; e=e->next)
{
if (Etv[e->adjvex] == Ltv[e->adjvex] && Ltv[e->adjvex] – e->weight == Ltv[u])//关键事件和关键路径
{
path[top++] = e->adjvex; //入栈
PrintPath(GL, Etv, Ltv, path, top, end);
top–; //退栈
}
}
}
